1 为什么要证明
1．推理证明的必要性
给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．
谈重点 证明的必要性
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．
【例1】 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？
解析：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉．本例中感觉左图中间的圆圈好像比右图中间的圆圈要小一些，实际上这两个圆圈是一样大的．
答案：一样大
点评：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
2．检验数学结论常用的方法
(1)检验数学结论常用的方法
主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．
检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
(2)应用
检验数学结论常用的三种方法的应用：
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
【例2－1】 我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.
试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?
分析：通过举反例，找出使a×b＝a＋b不成立的a，b的值，就可以得出答案．
解：3×2＝6，而3＋2＝5，
因为6≠5，
所以不是任意数a与b，
都有结论a×b＝a＋b.
【例2－2】 如图，在▱ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．
分析：由图可知位置关系应为平行，而数量关系则为相等，用推理的方式说明理由即可．
解：DF∥BE，DF＝BE.理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°，故DF∥BE.
由AB∥CD，得∠DCF＝∠BAE.
又AB＝CD，∠CFD＝∠AEB＝90°，
所以△DCF≌△BAE.
所以DF＝BE.
点评：观察只是猜测其结论，只有推理才能说明其结论的正确性．
3．推理的应用
推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：
(1)规律探究
给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．
解题思路：
解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．
(2)推理在日常生活中的应用
生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真伪，从而作出判断．
【例3－1】 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．
解析：第1个图形中正方形的个数为1，第2个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1＋3＋1个，第3个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1＋3个，即为1＋3＋5＋3＋1.所以第5个图案中小正方形的个数为1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41.
答案：41
【例3－2】 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？
分析：注意①与③互相矛盾，两件矛盾的事，不能都是真的，又不能都是假的，必有一真，这样问题就解决了．
解：经分析得①③中有一句是真话，一句是假话，而已知真话只有一句，所以②必是假话，从而可知苹果在黄箱子里．
点技巧 巧用排除法
判断数学结论正确与否，可选择“排除法”．
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