4 平行线的性质
1．平行线的性质公理
平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单记为：两直线平行，同位角相等．
如图，推理符号表示为：
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
谈重点 两直线平行，同位角相等
①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础；
②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质．要避免一提同位角就以为其相等的错误；
③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程．
【例1】 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．
解析：本题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等．由条件CE平分∠ACD，∠1＝25°，可得∠ACD＝2∠1＝50°.而∠2与∠ACD是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠2＝∠ACD＝50°.
答案：50°
点评：根据平行直线求角时，要先观察两个角之间的关系．
2．平行线的性质定理
(1)性质定理1
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单记为：两直线平行，同旁内角互补．
符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.
(2)性质定理2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单记为：两直线平行，内错角相等．
符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.
点评：①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；②
从平行线得到角相等或互补的关系；③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”．要避免出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误．
【例2－1】 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：由邻补角的定义求得∠BAD的度数，
又由AB∥CD，可求得∠ADC的度数，再求出∠FDC的度数即可．
∵∠EAB＝45°，
∴∠BAD＝180°－∠EAB＝180°－45°＝135°.
∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝135°.
∴∠FDC＝180°－∠ADC＝45°.故选B.
答案：B
点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．
【例2－2】 如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于( )．
A．70° B．80° C．90° D．100°
解析：由对顶角相等，可得∠BED＝∠AEC＝100°，由DF∥AB可知同旁内角∠DEB和∠D互补，可求得∠D＝180°－∠BED＝80°.故选B.
答案：B
3．证明的步骤
(1)证明的一般步骤：
①理解题意；
②根据题意正确画出图形；
③结合图形，写出“已知”和“求证”；
④分析题意，探索证明的思路；
⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；
⑥检查表达过程是否正确、完善．
(2)证明的思路：
可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近．
点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可．
4．借助辅助线构造平行线
在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角．
但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的．
释疑点 平行线判定与性质的应用
以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明．
【例3】 证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．
分析：本题是文字证明题．根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线a⊥c，b⊥c，求证是a∥b.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以．然后写出证明过程．
解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a⊥c，b⊥c.
求证：a∥b.
证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，
∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
点技巧 文字证明题的步骤
文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形．书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据．
【例4】 如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，则∠BEC＝__________.
解析：从图形上看，由于没有直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形，然后才可以运用平行线的性质．可过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＋∠BEF＝180°，∠FEC＝∠C，所以∠BEC＝∠BEF＋∠DCE＝60°＋35°＝95°.
答案：95°
点评：解决本题有两条思路：一是构造与AB，CD都相交的截线；二是过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，这样可将图形转化．
5．平行线性质与判定的综合应用
(1)平行线的性质与判定的区别
平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反．性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”．
具体为：
在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提．角相等或互补是已知，结论是两直线平行．判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”．
在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补．性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”．
释疑点 平行线的性质与判定要分清
在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错．
(2)平行线性质的应用
平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用．实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题．而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换．
如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题．解决时，确定平行线是关键．
【例5－1】 如图，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.
分析：观察图形，发现截平行线AD，BC和AB，CD的直线有三条，应选与∠A＝∠C有关的直线作为“第三条直线”，这样就能很快确定与它们有关的角，从而顺利解决问题．先从AD∥BC出发，选择与∠A有关的第三条直线AB(也可选择与∠C有关的第三条直线CD)．因为AD∥BC，所以∠A＝∠ABF，又因为∠A＝∠C，可得∠C＝∠ABF，∠C、∠ABF是AB，DC被CF所截的同位角，所以AB∥CD.
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠A＝∠ABF(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠A＝∠C(已知)，∴∠C＝∠ABF(等量代换)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
点评：证明两条直线平行，可以通过同位角、内错角相等或者同旁内角互补．关键是利用有关知识把已知条件转化为上述各角．
【例5－2】 如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________．
解析：根据图形，利用平行线的性质解答即可．如图2，
∵AC∥BD，∠1＝48°，∴∠2＝∠1＝48°，根据方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°.
答案：48°
点评：解答此类题需要正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．
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