5 三角形内角和定理
1．三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
变式：∠A＝180°－∠B－∠C.
谈重点 三角形内角和解读
(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；
(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；
(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；
(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．
【例1－1】 在一个三角形中，下列说法错误的是( )．
A．可以有一个锐角和一个钝角
B．可以有两个锐角
C．可以有一个锐角和一个直角
D．可以有两个钝角
解析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．
答案：D
点技巧 三角形中，角知多少
任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．
【例1－2】 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为( )．
A．60° B．75° C．90° D．120°
解析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.
答案：C
2．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．
(2)三角形外角的特征
三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．
(3)三角形外角的实质
是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.
如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.
【例2】 如图所示，∠1为三角形的外角的是( )．
解析：由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.
答案：D
点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．
3．三角形内角和定理的证法
在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．
证明三角形内角和定理的基本思路：
想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．
在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：
(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.
(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．
4．三角形内角和定理的运用
(1)利用定理求角的度数或证明
生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．
三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．
(2)利用定理判断三角形的形状
根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．
若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①
若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．
【例3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？
分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．
同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.
点技巧 辅助线的作用
辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．
【例4－1】 若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，
∴三个内角分别是180°×＝40°，180°×＝60°，180°×＝80°.∴该三角形是锐角三角形．故选B.
答案：B
【例4－2】 △ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．
解析：根据三角形的内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，
又∠B＝∠A＋∠C，
∴2∠B＝180°，即∠B＝90°.
因此该三角形是直角三角形．
答案：直角
【例4－3】 如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC＝70°.又AE是∠BAC的平分线，可知∠BAE＝35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB＝90°，从而∠BAD＝25°，所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.
解：在△ABC中，
∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°.
又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.
∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.
析规律 三角形内角和定理的运用
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理的运用．
5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明
(1)三角形内角和定理的推论1
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.
谈重点 三角形的外角
①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；
②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．
(2)三角形内角和定理的推论2
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.
析规律 灵活使用三角形的外角
①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；
②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．
【例5－1】 如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( )．
A．100° B．120°
C．130° D．150°
解析：所求的角恰好是△ABC的外角，根据外角推论1可求得．
∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋60°＝130°.故选C.
答案：C
点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【例5－2】 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为( )．
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
解析：由于∠2是△ABF的外角，∠1是△AEF的外角，所以∠2＞∠3，∠1＞∠4；又由于∠4和∠2是对顶角，故∠4＝∠2，所以∠1＞∠2.∠1，∠2，∠3的大小关系为∠1＞∠2＞∠3.故选D.
答案：D
【例5－3】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．
解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.
答案：15°
6．三角形内角和定理的实际应用
三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．
用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．
析规律 灵活运用三角形的内角和
①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；
②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；
③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．
【例6－1】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．
解析：根据木板的形状，将其“复原”为一个三角形，依据三角形的内角和定理解答．
所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－100°－40°＝40°.
答案：40°
【例6－2】 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.
解析：要求∠BDF的度数，可通过△DBF，利用三角形的内角和等于180°来求．由折叠可知△ADE≌△FDE，所以DF＝DA＝DB.所以∠DFB＝∠B＝50°.所以∠BDF＝180°－∠DFB－∠B＝80°.
答案：80°
7.辅助线与角的转化应用
(1)辅助线与角的转化
有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．
在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．
析规律 辅助线的作法
辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．
(2)等腰三角形中内、外角的转换
对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解．
①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．
②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角．
【例7－1】 如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.
解析：利用辅助线构造三角形即可．如图2，延长BC与a相交，由a∥b先求出内错角∠1＝∠B＝50°，再根据三角形外角性质即可求出∠ACB＝∠1＋28°＝50°＋28°＝78°.
答案：78°
【例7－2】 等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．
解析：等腰三角形的一个外角为110°，则相邻的内角为180°－110°＝70°，而70°的内角可能是顶角，也可能是底角，故分两种情况：当底角为70°时，则顶角为180°－70°×2＝40°；当顶角为70°时，则底角为(180°－70°)×＝55°.
答案：70°，70°，40°或者70°，55°，55°
点评：先将外角转化为内角，再分情况讨论是解决问题的基本思路．
【例7－3】 已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
解：∵∠BAC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°.①
∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②
把②代入①，得3∠2＝60°，∴∠2＝20°.
∴∠DAC＝120°－20°＝100°.
点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．
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