4.3 角
1.角的定义及其表示方法
(1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,
这两条射线是角的两条边.
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.当终边和始边成一条直线
时,形成等角;当终边和始边重合时,形成周角.
(2)角的表示方法:
有四种表示角的方法:
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角,在角内用一段弧标注;
②用一个大写英文字母表示 单独的一个角,当角的顶点处有两个或两个以上的角时,
不能用这种方法表示角;
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角;
④用三个大写英文字母表示任意一个角,这时表示顶点的字母一定要写在中间.
破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线张开的幅度
大小有关,角可以度量,可以比较大小,可以进行运算;(2)如果没有特别说明,所说的角
都是指小于平角的角.
【例 1-1】 下列说法正确的是( ).
A.平角是一条直线 B.一条射线是一个周角
C.两边成一条直线时组成的角是平角 D.一个角不是锐角就是钝角
解析:要做对这类题目,一定要理解概念,严格按照概念进行判断,才能得出正确的结
论.平角、周角都是特殊角,虽然它们与一般角形象不符,但是它们仍然是角,它们都具有
一个顶点和两条边,只不过平角的两边成一条直线,周角的两边重合成一条射线罢了.
答案:C
【例 1-2】 如图,以点 B 为顶点的角有几个?请分别把它们表示出来.
分析:.射线 BA 与 BD,BA 与 BC,BD 与 BC 各组成一个角.表示顶点的字母必须写在
中间.当一个顶点处有多个角时,不能用一个表示顶点的大写字母表示,所以不能把∠ABC
错写成“∠B”.书写力求规范,如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上
阿拉伯数字或小写的希腊字母.注意:角的符号一定要用“∠”,而不能用“<”.
解:以 B 为顶点的角有 3 个,分别是∠ABC,∠ABD,∠DBC.
2.角的度量与换算
(1)角度制:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.
(2)角度的换算:
角的度量单位是度、分、秒,把一个周角 360 等分,每一份就是 1 度的角,记作 1°;
把 1 度的角 60 等分,每一份就是 1 分的角,记作 1′;把 1 分的角 60 等分,每一份就是 1
秒的角,记作 1″.
谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是 60 进制,与时间中的时、分、秒的换算
相同;
(2)角的度数的换算有两种方法:
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化),用乘法,1°=60′,1′=60″;
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″=
1
60 ′,1′=
1
60 °,用除法.
度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化,“越级”转化容易出错.
【例 2】 (1)将 70.23°用度、分、秒表示;(2)将 26°48′36″用度表示.
分析:(1)70.23°实际是 70°+0.23°,这里 70°不要变,只要将 0.23°化为分,然后再把所
得的分中的小数部分化为秒.将 0.23°化为分,只要用 0.23 乘以 60′即可.
(2)将26°48′36″用度表示,应先将 36″化成分,然后再将分化成度就可以了.将 36″
化成分,可以用
1
60 ′乘以 36.
解:(1)将 0.23°化为分,可得 0.23×60′=13.8′,再把 0.8′化为秒,得 0.8×60″=
48″.
所以 70.23°=70°13′48″.
(2)把 36″化成分,36″=
1
60 ′×36=0.6′,48′+0.6′=48.6′,把 48.6′化成度,
48.6′=
1
60 °×48.6=0.81°.
所以 26°48′36″=26.81°.
3.角的比较与运算
(1)角的比较:
①度量法:用量角器量出角的度数,然后按照度数比较角的大小,度数大的角大 ,度
数小的角小;反之,角大度数大,角小度数小.
②叠合法:把两个角的顶点和一边分别重合,另一边放在重合边的同旁,通过另一 边
的位置关系比较大小.
解技巧 角的比较 ①在度量法中,注意三点:对中、重合、度数;②在叠合法中,要
注意顶点重合,一边重合,另一边落在重合这边的同侧.
(2)角的和差:
角的和、差有两种意义,几何意义和代数意义.几何意义对于今后读图形语言有很大帮
助,代数意义是今后角的运算的基础.
①几何意义:如图所示,∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC,表示为∠AOB+∠BOC=
∠AOC;∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB,表示为∠AOC-∠BOC=∠AOB.
②代数意义:如已知∠A=23°17′,∠B=40°50′,∠A+∠B 就可以像代数加减法一
样计算,即∠A+∠B=23°17′+40°50′=64°7′,∠B-∠A=40°50′-23°17′=
17°33′.
(3)角的平分线:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图
所示,射线 OC 是∠AOB 的平分线,则有∠1=∠2=1
2
∠AOB 或∠AOB=2∠1=2∠2.
警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线,不 是线段,也不是直线,它必
须满足下面的条件:
①是从角的顶点引出的射线,且在角的内部;
②把已知角分成了两个角,且这两个角相等.
【例 3】 如图所示,OE 平分∠BOC,OD 平分∠AOC,∠BOE=20°,∠AOD=40°,
求∠DOE 的度数.解:∵OE 平分∠BOC,∴∠BOE=∠COE.
∵OD 平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD.
又∵∠BOE=20°,∠AOD=40°,
∴∠COE=20°,∠COD=40°.
∴∠DOE=∠COE+∠COD=20°+40°=60°.
4.余角和补角
(1)余角和补角的概念:
①余角:如果两个角的和等于 90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是另
一个角的余角;
②补角:如果两个角的和等于 180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另
一个角的补角.
(2)性质:
余角的性质:同角(等角)的余角相等.
用数学式子表示为:∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,又因为∠2=∠4,所以∠1=∠3.
补角的性质:同角(等角)的补角相等.
用数学式子表示为:∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,又因为∠2=∠4,所以∠1=
∠3.
(3)方位角:
在航海、航空、测绘中,经常会用到一种角,它是表示方向的角,叫做方位角.通常以
正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向.通常要先写北或南,再写偏东还是偏西.
警误区 余角和补角的理解 余角和补角是成对出现的,它们之间互相依存,只能说
∠1 的余角是∠2,∠2 的余角是∠1,或者说∠1 与∠2 互余,而不能说∠1 是余角.
【例 4】 如图所示,直线 AB,CD,EF 相交于点 O,且∠AOD=90°,∠1=40°,求
∠2 的度数.
解:因为∠AOD+∠AOC=∠AOD+∠BOD=180°,
所以∠AOD=∠AOC=∠BOD=90°.
又因为∠1+∠FOC=180°,∠DOF+∠FOC=180°,
所以∠DOF=∠1=40°.
所以∠2=∠BOD-∠DOF=90°-40°=50°.
5.运用整体思想解决角的计算问题
整体思想就是根据问题的整体结构特征,不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的
一种重要的思想方法.
整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集
成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有
意识的整体处理.
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中
的具体运用.
【例 5】如图所示,∠AOB=90°,ON 是∠AOC 的平分线,OM 是∠BOC 的平分线,求
∠MON 的大小.
分析:解决问题的关键是把∠AOC-∠BOC 视为一个整体,代入求值.
解:因为 ON 是∠AOC 的平分 线,OM 是∠BOC 的平分线,所以∠NOC=1
2
∠AOC,
∠MOC=1
2
∠BOC,
所以∠MON=∠NOC-∠MOC=1
2
∠AOC-1
2
∠BOC=1
2(∠AOC-∠BOC)=1
2
∠AOB=
1
2
×90°=45°.
6.钟表问题
对于钟表问题要掌握基本的数量关系,如走一大格为 30 度,一小格为 6 度,分针每分
钟转 6 度,时针每分钟转 0.5 度,分针是时针转速的 12 倍等.
若已知具体时间,求时针与分针的夹角,只需知道它们相距的格数,便可求得;若是已
知时针与分针的夹角求相应的时间,则一般需要建立方程求解.
【例 6】上午 9 点时,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角是什么时候?
解:设经过 x 分钟,时针与分针再次成直角,则时针转过(0.5x)°,分针转过(6x)°,如图
所示,可列方程 360-6x-(90-0.5x)=90,解得 x=32 8
11.即过 32 8
11
分钟,时针与分针再一
次成直角.
7.角中的实验操作题
实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题,它集阅读、作图、实验于一体,要
求在规定的条件下进行实验,在动手操作中找出答案.
这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图,进而求出点的转动角度.
【例 7】如图,把作图用的三角尺(含 30°,60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始,
在平面上转动一周,求 B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下,一律看作点没
有转动).
解:如图,从位置①到位置②,B 点转过 90°;从位置②到位置③,B 点转过 120°;从位置③到位置④,由题意 B 点看作不动.于是在整个过程中 B 点转过的角度为 90°+120°
=210°.
8.归纳猜想在角的问题中的运用
归纳猜想,是一种很重要的数学思想方法,数学史上的许多重要发现:如哥德巴赫猜想、
四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的.学习数学必
须不断地去探索、猜想,不断地总结规律,才会有新发现.
运用n(n-1)
2
这个式子,能解决很多类似的问题,能达到一石数鸟,这都是大家善于借
鉴的结果.在学习过程中,注意不断总结、归纳规律,积累经验,运用总结出来的方法、技
巧解决问题.
【例 8】(1)若在 n 个人的聚会上,每个人都要与另外所有的人握一次手,问握手总次数
是多少?
(2)如图①中共有多少条线段?如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?
解:(1)每个人可与另外(n-1)个人握一次手,n 个人就有(n-1)·n 次握手,其中各重复
一次,所以,握手总次数是 n(n-1)÷2 次.
(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手),所以共有 n(n-1)÷2 条线段.
图②中每条射线都与另外(n-1)条射线构成一个角(类似于握手),所以共有 n(n-1)÷2
个角.
9.方位角的应用
(1)如图,画两条互相垂直的直线 AB 和 CD 相交于点 O,其中一条为水平线,则图中四
条射线所指方向就是东西南北四大方向,具体是:向上的射线 OA 表示正北方向,向下的射
线 OB 表示正南方向,向右的射线 OD 表示正东方向,向左的射线 OC 表示正西方向.这四
大方向简称为上北下南左西右东.
建立这四条方向线后,对于点 P,如果点 P 在射线 OA 上,则称点 P 在正北方向;如果
点 P 在射线 OB 上,则称点 P 在正南方向;如果点 P 在射线 OC 上,则称点 P 在正西方向;
如果点 P 在射线 OD 上,则称点 P 在正东方向.
(2)在图中,东西和南北方向线把平面分成四个直角,如果点 P 在正北方向线 OA 与正
东(或正西)方向线 OD(或 OC)的夹角内,且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m°,则称
点 P 在北偏东(或西)m°方向;如果点 P 在正南方向线 OB 与正东(或正西)方向线 OD(或 OC)
的夹角内,且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m°,则称点 P 在南偏东(或西)m°方向.
例如图中的射线 OA,OB,OC,OD 分别称为:北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°.
对于偏向 45°的方位角,有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向.如图中的 OC,
除了说成南偏西 45°外,还可以说是西南方向,但不要说成南西方向.
【例 9】如图,OA 的方向是北偏东 15°,OB 的方向是西偏北 50°.
(1)若∠AOC=∠AOB,则 OC 的方向是________;
(2)OD 是 OB 的反向延长线,OD 的方向是____;
(3)∠BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至 OD,作∠BOD 的平分线 OE,OE 的方向
是____;
(4)在(1)、(2)、(3)的条件下,∠COE=____.
解析:(1)∵OB 的方向是西偏北 50°,
∴∠1=90°-50°=40°,
∴∠AOB=40°+15°=55°
∵∠AOC=∠AOB,
∴∠AOC=55°,
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=15°+55°=70°,
∴OC 的方向是北偏东 70°.
(2)∵OB 的方向是西偏北 50°,
∴∠1=40°,
∴∠DOH=40°,
∴OD 的方向是南偏东 40°.
(3)∵OE 是∠BOD 的平分线,
∴∠DOE=90°.
∵∠DOH=40°,
∴∠HOE=50°,
∴OE 的方向是南偏西 50°.
(4)∵∠AOF=15°,∠AOC=55°,
∴∠COG=90°-∠AOF-∠AOC=90°-15°-55°=20°.
∵∠EOH=50°,∠HOG=90°,
∴∠COE=∠EOH+∠HOG+∠COG=50°+90°+20°=160°.
答案:(1)北偏东 70°
(2)南偏东 40°
(3)南偏西 50°
(4)160°