新人教版七上角例题与讲解
加入VIP免费下载

4.3角例题与讲解(2013-2014年新人教版七年级上).doc

本文件来自资料包:《新人教版七上角例题与讲解》

共有 1 个子文件

本文件来自资料包: 《新人教版七上角例题与讲解》 共有 1 个子文件,压缩包列表如下:

注:压缩包层级关系提取自源文件,您看到的所有资料结构都和您下载的源文件一致

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
4.3 角 1.角的定义及其表示方法 (1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点, 这两条射线是角的两条边. 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.当终边和始边成一条直线 时,形成等角;当终边和始边重合时,形成周角. (2)角的表示方法: 有四种表示角的方法: ①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角,在角内用一段弧标注; ②用一个大写英文字母表示 单独的一个角,当角的顶点处有两个或两个以上的角时, 不能用这种方法表示角; ③用一个小写希腊字母表示单独的一个角; ④用三个大写英文字母表示任意一个角,这时表示顶点的字母一定要写在中间. 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线张开的幅度 大小有关,角可以度量,可以比较大小,可以进行运算;(2)如果没有特别说明,所说的角 都是指小于平角的角. 【例 1-1】 下列说法正确的是( ). A.平角是一条直线 B.一条射线是一个周角 C.两边成一条直线时组成的角是平角 D.一个角不是锐角就是钝角 解析:要做对这类题目,一定要理解概念,严格按照概念进行判断,才能得出正确的结 论.平角、周角都是特殊角,虽然它们与一般角形象不符,但是它们仍然是角,它们都具有 一个顶点和两条边,只不过平角的两边成一条直线,周角的两边重合成一条射线罢了. 答案:C 【例 1-2】 如图,以点 B 为顶点的角有几个?请分别把它们表示出来. 分析:.射线 BA 与 BD,BA 与 BC,BD 与 BC 各组成一个角.表示顶点的字母必须写在 中间.当一个顶点处有多个角时,不能用一个表示顶点的大写字母表示,所以不能把∠ABC 错写成“∠B”.书写力求规范,如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上 阿拉伯数字或小写的希腊字母.注意:角的符号一定要用“∠”,而不能用“<”. 解:以 B 为顶点的角有 3 个,分别是∠ABC,∠ABD,∠DBC. 2.角的度量与换算 (1)角度制:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制. (2)角度的换算: 角的度量单位是度、分、秒,把一个周角 360 等分,每一份就是 1 度的角,记作 1°; 把 1 度的角 60 等分,每一份就是 1 分的角,记作 1′;把 1 分的角 60 等分,每一份就是 1 秒的角,记作 1″. 谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是 60 进制,与时间中的时、分、秒的换算 相同; (2)角的度数的换算有两种方法: ①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化),用乘法,1°=60′,1′=60″; ②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″= 1 60 ′,1′= 1 60 °,用除法. 度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化,“越级”转化容易出错. 【例 2】 (1)将 70.23°用度、分、秒表示;(2)将 26°48′36″用度表示. 分析:(1)70.23°实际是 70°+0.23°,这里 70°不要变,只要将 0.23°化为分,然后再把所 得的分中的小数部分化为秒.将 0.23°化为分,只要用 0.23 乘以 60′即可. (2)将26°48′36″用度表示,应先将 36″化成分,然后再将分化成度就可以了.将 36″ 化成分,可以用 1 60 ′乘以 36. 解:(1)将 0.23°化为分,可得 0.23×60′=13.8′,再把 0.8′化为秒,得 0.8×60″= 48″. 所以 70.23°=70°13′48″. (2)把 36″化成分,36″= 1 60 ′×36=0.6′,48′+0.6′=48.6′,把 48.6′化成度, 48.6′= 1 60 °×48.6=0.81°. 所以 26°48′36″=26.81°. 3.角的比较与运算 (1)角的比较: ①度量法:用量角器量出角的度数,然后按照度数比较角的大小,度数大的角大 ,度 数小的角小;反之,角大度数大,角小度数小. ②叠合法:把两个角的顶点和一边分别重合,另一边放在重合边的同旁,通过另一 边 的位置关系比较大小. 解技巧 角的比较 ①在度量法中,注意三点:对中、重合、度数;②在叠合法中,要 注意顶点重合,一边重合,另一边落在重合这边的同侧. (2)角的和差: 角的和、差有两种意义,几何意义和代数意义.几何意义对于今后读图形语言有很大帮 助,代数意义是今后角的运算的基础. ①几何意义:如图所示,∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC,表示为∠AOB+∠BOC= ∠AOC;∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB,表示为∠AOC-∠BOC=∠AOB. ②代数意义:如已知∠A=23°17′,∠B=40°50′,∠A+∠B 就可以像代数加减法一 样计算,即∠A+∠B=23°17′+40°50′=64°7′,∠B-∠A=40°50′-23°17′= 17°33′. (3)角的平分线: 从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图 所示,射线 OC 是∠AOB 的平分线,则有∠1=∠2=1 2 ∠AOB 或∠AOB=2∠1=2∠2. 警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线,不 是线段,也不是直线,它必 须满足下面的条件: ①是从角的顶点引出的射线,且在角的内部; ②把已知角分成了两个角,且这两个角相等. 【例 3】 如图所示,OE 平分∠BOC,OD 平分∠AOC,∠BOE=20°,∠AOD=40°, 求∠DOE 的度数.解:∵OE 平分∠BOC,∴∠BOE=∠COE. ∵OD 平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD. 又∵∠BOE=20°,∠AOD=40°, ∴∠COE=20°,∠COD=40°. ∴∠DOE=∠COE+∠COD=20°+40°=60°. 4.余角和补角 (1)余角和补角的概念: ①余角:如果两个角的和等于 90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是另 一个角的余角; ②补角:如果两个角的和等于 180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另 一个角的补角. (2)性质: 余角的性质:同角(等角)的余角相等. 用数学式子表示为:∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,又因为∠2=∠4,所以∠1=∠3. 补角的性质:同角(等角)的补角相等. 用数学式子表示为:∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,又因为∠2=∠4,所以∠1= ∠3. (3)方位角: 在航海、航空、测绘中,经常会用到一种角,它是表示方向的角,叫做方位角.通常以 正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向.通常要先写北或南,再写偏东还是偏西. 警误区 余角和补角的理解 余角和补角是成对出现的,它们之间互相依存,只能说 ∠1 的余角是∠2,∠2 的余角是∠1,或者说∠1 与∠2 互余,而不能说∠1 是余角. 【例 4】 如图所示,直线 AB,CD,EF 相交于点 O,且∠AOD=90°,∠1=40°,求 ∠2 的度数. 解:因为∠AOD+∠AOC=∠AOD+∠BOD=180°, 所以∠AOD=∠AOC=∠BOD=90°. 又因为∠1+∠FOC=180°,∠DOF+∠FOC=180°, 所以∠DOF=∠1=40°. 所以∠2=∠BOD-∠DOF=90°-40°=50°. 5.运用整体思想解决角的计算问题 整体思想就是根据问题的整体结构特征,不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的 一种重要的思想方法. 整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集 成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有 意识的整体处理. 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中 的具体运用. 【例 5】如图所示,∠AOB=90°,ON 是∠AOC 的平分线,OM 是∠BOC 的平分线,求 ∠MON 的大小. 分析:解决问题的关键是把∠AOC-∠BOC 视为一个整体,代入求值. 解:因为 ON 是∠AOC 的平分 线,OM 是∠BOC 的平分线,所以∠NOC=1 2 ∠AOC, ∠MOC=1 2 ∠BOC, 所以∠MON=∠NOC-∠MOC=1 2 ∠AOC-1 2 ∠BOC=1 2(∠AOC-∠BOC)=1 2 ∠AOB= 1 2 ×90°=45°. 6.钟表问题 对于钟表问题要掌握基本的数量关系,如走一大格为 30 度,一小格为 6 度,分针每分 钟转 6 度,时针每分钟转 0.5 度,分针是时针转速的 12 倍等. 若已知具体时间,求时针与分针的夹角,只需知道它们相距的格数,便可求得;若是已 知时针与分针的夹角求相应的时间,则一般需要建立方程求解. 【例 6】上午 9 点时,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角是什么时候? 解:设经过 x 分钟,时针与分针再次成直角,则时针转过(0.5x)°,分针转过(6x)°,如图 所示,可列方程 360-6x-(90-0.5x)=90,解得 x=32 8 11.即过 32 8 11 分钟,时针与分针再一 次成直角. 7.角中的实验操作题 实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题,它集阅读、作图、实验于一体,要 求在规定的条件下进行实验,在动手操作中找出答案. 这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图,进而求出点的转动角度. 【例 7】如图,把作图用的三角尺(含 30°,60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始, 在平面上转动一周,求 B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下,一律看作点没 有转动). 解:如图,从位置①到位置②,B 点转过 90°;从位置②到位置③,B 点转过 120°;从位置③到位置④,由题意 B 点看作不动.于是在整个过程中 B 点转过的角度为 90°+120° =210°. 8.归纳猜想在角的问题中的运用 归纳猜想,是一种很重要的数学思想方法,数学史上的许多重要发现:如哥德巴赫猜想、 四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的.学习数学必 须不断地去探索、猜想,不断地总结规律,才会有新发现. 运用n(n-1) 2 这个式子,能解决很多类似的问题,能达到一石数鸟,这都是大家善于借 鉴的结果.在学习过程中,注意不断总结、归纳规律,积累经验,运用总结出来的方法、技 巧解决问题. 【例 8】(1)若在 n 个人的聚会上,每个人都要与另外所有的人握一次手,问握手总次数 是多少? (2)如图①中共有多少条线段?如图②中共有多少个角(指小于平角的角)? 解:(1)每个人可与另外(n-1)个人握一次手,n 个人就有(n-1)·n 次握手,其中各重复 一次,所以,握手总次数是 n(n-1)÷2 次. (2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手),所以共有 n(n-1)÷2 条线段. 图②中每条射线都与另外(n-1)条射线构成一个角(类似于握手),所以共有 n(n-1)÷2 个角. 9.方位角的应用 (1)如图,画两条互相垂直的直线 AB 和 CD 相交于点 O,其中一条为水平线,则图中四 条射线所指方向就是东西南北四大方向,具体是:向上的射线 OA 表示正北方向,向下的射 线 OB 表示正南方向,向右的射线 OD 表示正东方向,向左的射线 OC 表示正西方向.这四 大方向简称为上北下南左西右东. 建立这四条方向线后,对于点 P,如果点 P 在射线 OA 上,则称点 P 在正北方向;如果 点 P 在射线 OB 上,则称点 P 在正南方向;如果点 P 在射线 OC 上,则称点 P 在正西方向; 如果点 P 在射线 OD 上,则称点 P 在正东方向. (2)在图中,东西和南北方向线把平面分成四个直角,如果点 P 在正北方向线 OA 与正 东(或正西)方向线 OD(或 OC)的夹角内,且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m°,则称 点 P 在北偏东(或西)m°方向;如果点 P 在正南方向线 OB 与正东(或正西)方向线 OD(或 OC) 的夹角内,且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m°,则称点 P 在南偏东(或西)m°方向. 例如图中的射线 OA,OB,OC,OD 分别称为:北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°. 对于偏向 45°的方位角,有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向.如图中的 OC, 除了说成南偏西 45°外,还可以说是西南方向,但不要说成南西方向. 【例 9】如图,OA 的方向是北偏东 15°,OB 的方向是西偏北 50°. (1)若∠AOC=∠AOB,则 OC 的方向是________; (2)OD 是 OB 的反向延长线,OD 的方向是____; (3)∠BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至 OD,作∠BOD 的平分线 OE,OE 的方向 是____; (4)在(1)、(2)、(3)的条件下,∠COE=____. 解析:(1)∵OB 的方向是西偏北 50°, ∴∠1=90°-50°=40°, ∴∠AOB=40°+15°=55° ∵∠AOC=∠AOB, ∴∠AOC=55°, ∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=15°+55°=70°, ∴OC 的方向是北偏东 70°. (2)∵OB 的方向是西偏北 50°, ∴∠1=40°, ∴∠DOH=40°, ∴OD 的方向是南偏东 40°. (3)∵OE 是∠BOD 的平分线, ∴∠DOE=90°. ∵∠DOH=40°, ∴∠HOE=50°, ∴OE 的方向是南偏西 50°. (4)∵∠AOF=15°,∠AOC=55°, ∴∠COG=90°-∠AOF-∠AOC=90°-15°-55°=20°. ∵∠EOH=50°,∠HOG=90°, ∴∠COE=∠EOH+∠HOG+∠COG=50°+90°+20°=160°. 答案:(1)北偏东 70° (2)南偏东 40° (3)南偏西 50° (4)160°

资料: 29.3万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料