4.1 生活中的立体图形
1．常见的立体图形
(1)柱体
①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱．如三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做圆柱．
(2)锥体
①棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥．如三棱锥、四棱锥、五棱锥等；
②圆锥：以直角三角形一边所在的直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做圆锥．
(3)球体：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的几何体叫做球体．
【例1】 判断下列说法是否正确：
(1)柱体的上、下两个面不一样大( )．
(2)圆柱、圆锥的底面都是圆( )．
(3)棱柱的底面不一定是四边形( )．
(4)圆柱的侧面是平面( )．
(5)棱锥的侧面不一定是三角形( )．
解析：柱体的上、下底面是平行且相等的(形状相同、大小相等)，所以(1)错误；圆柱的上、下两个底面都是圆，圆锥的底面是圆，所以(2)正确；棱柱可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱等，即棱柱的底面不一定是四边形，所以(3)正确；圆柱的侧面是曲面不是平面，所以(4)错误；棱锥的侧面一定是三角形，所以(5)错误．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．立体图形的分类
立体图形
为便于理解与识记，形象地总结立体图形的分类如下：
【例2】 下列图形中柱体的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：柱体的特点是它们的上、下底面是平行且相等的(形状相同、大小相等)，由此判断①和②是柱体．
答案：B
3．多面体
(1)多面体的概念：围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫做多面体．
如图，下列图形分别为：棱柱(长方体)、棱锥(三棱锥)，它们均为多面体．
(2)正四面体：由四个完全一样的正三角形围成的空间图形称为正四面体，这些三角形的顶点、边分别称为正四面体的顶点、棱(相邻的三角形的公共边只算一条棱)．
(3)正六面体：类似的，组成正方体的每个正方形的顶点、边分别称为正六面体的顶点、棱(相邻的正方形的公共边只算一条棱)．
此外，还有正八面体、正十二面体和正二十面体，如图．
谈重点 常见的多面体 棱柱和棱锥都是多面体，圆柱、圆锥和球不是多面体．
【例3】 一个棱柱的底面是五边形，它有几条侧棱，几个顶点？共有几个面？
分析：由已知易知该立体图形是五棱柱，结合图形回答问题即可．
解：它有5条侧棱，10个顶点，共有7个面．
析规律 棱柱棱数、顶点数和面数的确定 底面为n边形的棱柱有n条侧棱，2n个顶点，(n＋2)个面．
4．常见几何体的特征
几何体
底面
侧面
顶点数
圆柱
两个底面，平行，形状大小相等
曲面
无
圆锥
一个底面，是圆形
曲面
一个
棱柱
两个底面，平行，形状大小相等的多边形
平面
有
棱锥
一个底面，是多边形
平面
有
三棱柱的面数是5，顶点数是6，棱数是9；四棱柱的面数是6，顶点数是8，棱数是12；类似的，n棱柱的面数是n＋2，顶点数是2n，棱数是3n.
三棱锥的面数是4，顶点数是4，棱数是6；四棱锥的面数是5，顶点数是5，棱数是8；类似的，n棱锥的面数是n＋1，顶点数是n＋1，棱数是2n.
【例4】 图中的两个几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？
(1) (2)
分析：仔细观察本题中的几何体，(1)是一个圆柱沿着它的高线纵切形成的．由于圆柱的侧面是曲面，所以此几何体的侧面也是曲面；(2)是一个六面体截去一个角形成的，组成该几何体的面全是平面．
解：图中的几何体(1)由4个面围成；面与面相交成6条线，它们中有4条直的，还有2条曲的．
几何体(2)由7个面围成；面与面相交成14条线，它们全部是直的．
5.欧拉公式
由正多边形顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的计算得出结论：
多面体
V
F
E
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
由上表可知，多面体的顶点数、面数、棱数之间的关系式为：V＋F－E＝2，即顶点数＋面数－棱数＝2.伟大的数学家欧拉证明了这一公式，所以人们把它称为欧拉公式．
在利用公式“V＋F－E＝2”时，首先需正确判断出顶点数、面数和棱数中的两个．而多面体的面数是已知的，多面体的面数与多面体的名称一致，例如上表中四面体的面数是4，八面体的面数是8，十二面体的面数是12.所以只需知道顶点数和棱数中的一个，就可以求出另一个．
当正方体木块切去一块时，剩下的部分还是多面体，它们的顶点数、棱数、面数虽然会发生一些变化，但是三者之间的关系不变，仍然符合欧拉公式．
解技巧 欧拉公式的应用 解决多面体的棱、顶点、面之间的数量关系时，应用欧拉定理较为简便．要得到多面体的顶点数、棱数、面数之间的数量关系，可以具体分析表中的数据．
【例5】 如图，图①是正方体木块，切去一块可能得到的图形为②，③，④，⑤的木块．
(一)我们知道，图①的正方体木块共有8个顶点，12条棱，6个面．请你将图②，③，④，⑤中的木块的顶点数、棱数、面数填入下表．
图
顶点数
棱数
面数
①
8
12
6
②
③
④
⑤
(二)观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的关系，这种数量关系为__________．
分析：归纳顶点数、棱数、面数之间的关系，当三个量都在变化时，一般不易一下子观察出三者相互间的联系．这时，可选取其中某个量不变的情况，观察另外两个量变化时的相互关系．如图③，④顶点数没变，这时棱数、面数的差没变；又如图④，⑤中面数没变，这时顶点数、棱数的差没变．这样就比较容易发现三者之间的关系．
解：(一)
图
顶点数
棱数
面数
①
8
12
6
②
6
9
5
③
8
12
6
④
8
13
7
⑤
10
15
7
(二)顶点数＋面数－棱数＝2.
6．几何体的分类
对于几何体的分类，不同的标准便有不同的分法，这种分类的意识很重要，在考试中时有涉及．
(1)按顶点分为两类：
有顶点的多面体：棱柱、棱锥和圆锥；无顶点的多面体：圆柱和球；
(2)按棱分为两类：
有棱的多面体：棱柱、棱锥；无棱的多面体：圆柱、圆锥、球；
(3)按曲面分为两类：
有曲面的多面体：圆柱、圆锥、球；无曲面的多面体：棱柱、棱锥；
(4)按柱、锥、球分为三类：
棱柱和圆柱是柱体；棱锥和圆锥是锥体；球是一类，即球体．
不论哪一种分类方法，都要做到不重不漏．
【例6】 将下列几何体分类，并说明理由．
分析：本题作为一道开放型题，分类的方法非常多，结合本节内容，我们可以从点、线、面、体等不同的角度来加以分类．
解：(1)按顶点：①②⑤⑥⑦有顶点为一类，③④无顶点为一类；
(2)按棱：①②⑥⑦有棱为一类，③④⑤无棱为一类；
(3)按曲面：①②⑥⑦无曲面为一类，③④⑤有曲面为一类；
(4)按柱、锥、球：①②④⑥⑦是柱体为一类，⑤是锥体为一类，③是球体为一类．
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