4.5 最基本的图形——点和线
1．点、线段、射线和直线
(1)点
点的概念：用削尖的铅笔轻触一张白纸，就在纸上留下了点的直观形象．在许多图示上，点常用来表示那些大小尺寸可以忽略的物体．例如，在小比例尺地图上，一个城市就常常用一个点来表示．许多点的聚集又可以表现不同的图形，例如，报纸上的图片、电视屏幕上的画面，都是由浓淡不同或者色彩各异的点组成的．点通常用大写字母来表示．下图中的两点分别用“A”，“B”来表示．
(2)线段
①线段的概念
在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．实际上，线段是无数排成行的点的聚集．线段具有两个特征：a.线段是直的；b.线段有两个端点，所以说它是有界的．像我们身边的黑板的四边，桌子的四边等都是线段．
②线段的表示方法
a．一条线段可用它的两个端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．
b．一条线段可用一个小写字母来表示．如图，线段AB也可记作“线段a”．
③线段的基本性质
线段的性质是“两点之间，线段最短”．这就是说，所有连结A，B两点的线中，线段AB最短．即“两点之间，线段最短”．
④两点的距离
连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：在这里，距离指的是具体的“数”，而不是线段这个图形．
(3)射线
①射线的概念
把线段向一方无限延伸就形成了射线，像手电筒，探照灯所射出的光线都可以近似地看成射线．它只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的．
②射线的表示方法
用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一个点来表示．如图中的射线可表示为“射线OA”，表示端点的字母必须写在前面．
③射线的识别
a．端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图中射线MB，MC，MN都表示同一条射线．
b．端点相同，但延伸方向不相同的射线不是一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．
c．端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．
(4)直线
①直线的概念
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
②直线的表示方法
a．可用小写字母表示，如图中的直线可记作“直线a”；
b．也可用在这条直线上的两个点来表示，如图中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”．
警误区 表示直线时要注意的问题 表示直线的两个字母没有顺序性，表示直线时，在字母的前面一定要写上“直线”两字．
③直线的基本性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线(或者说“两点确定一条直线”)．
直线的性质包含着两层意思：a.存在性：过两点一定有一条直线；b.唯一性：经过这两点的直线是唯一的，不会有两条、三条或更多条．
因为过一个点可以作出无数条直线，所以不能采用代表一个点的字母来表示直线；而用代表三个点或更多个点的字母来表示又没有必要，故只要用直线上的两个点来表示直线就可以了．
(5)直线、射线和线段的区别和联系
图形
表示
延伸性
端点
长度
直线
直线AB、直线BA或直线l
向两方无限延伸
无
无限
射线
射线OA
由一端向一方无限延伸
一个
无限
线段
线段AB、线段BA或线段a
不延伸
两个
可度量
破疑点 “三线”的区别和联系 ①延伸和延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长；②直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；③连结AB，指的是画线段AB.
【例1】 平面上有任意3个点A，B，C.则一共可以画出多少条直线？以一点为端点且经过另一点的射线可以得到多少条？可以得到多少条线段？
分析：射线、线段都是直线的一部分，因而首先必须考虑可以画出多少条直线，由于经过两点有且只有一条直线，所以必须知道3点中每两点组成一组，一共可以组成多少个组．另一方面，已知3点的位置是任意的，就是说，这3点的位置是不确定的．我们先由其中两点(如A，B)画出一条直线AB，那么C点与直线AB的位置关系就只有两种：点C在直线AB上或点C不在直线AB上，在这两种情况下，所得到直线的条数也是不一样的．考虑了直线的条数，在此基础上就可以得到射线和线段的条数．
解：经过A，B两点可以画一条直线，则点C与直线AB的位置关系有：
(1)点C在直线AB上(如图)，显然直线CA，CB与直线AB是同一条直线，因此在这种情况下可以画出一条直线．
由于A，B，C在同一条直线上，以最左端一点A为端点而经过B点、C点的射线有两条AB、AC，但这两条射线实际上是同一条射线，同样以最右端的一点C为端点的射线CB，CA也是同一条射线，只有以中间一点B为端点的两条射线BA，BC由于延伸方向不同，是不同的两条射线，所以，可以得到4条射线．
同样，根据线段的定义，如果A，B，C在同一直线上，可以得到3条不同的线段AB，BC，CA.
(2)点C不在直线AB上，(如图)根据过两点有且只有一条直线可以画出3条直线：AB，BC，CA.
而以A点为端点的射线有4条，其中只有两条分别经过点B，点C，所以，以A为端点的满足条件的射线有两条AB，AC.同理，以点B，以点C为端点的射线也分别有两条满足条件．所以一共可以画6条射线：AB，AC，BA，BC，CA，CB.
以A，B，C 3点为端点的线段仍然有3条．
综合上述，给出平面上的任意3点，可以得到一条或3条直线；4条或6条以一点为端点而经过另一点的射线；不论3点的相互位置如何，总可以得到3条线段．
2.线段的长短比较
(1)线段的长短比较方法
①叠合法
比较两条线段AB，CD的长短，可以将它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在直线上A和C的同侧，如图，如果点D和B重合，就说线段AB和CD相等，记作AB＝CD；如果点D在线段AB上，就说线段AB大于CD，记作AB＞CD；如果点D在线段AB的延长线上，就说线段AB小于CD，记作AB＜CD.
②度量法
比较线段的大小，也可以先分别度量出每条线段的长度，然后按长度的大小，比较出线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．
(2)用圆规作一条线段等于已知线段
①先作一条射线AB(如图)；
②用圆规量出已知线段的长度(记作a)，再在射线AB上以A为圆心，截取AC＝a.
(3)线段的中点
如果一个点把线段分成两条相等的线段，那么这个点就叫做这条线段的中点．显然，若点M是线段AB中点(如图)，那么AM＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB；反之，如果点M在线段AB上，且有AM＝MB＝AB，或AB＝2AM＝2MB，那么M是线段AB的中点．
(4)关于线段的计算
两条线段长度相等，这两条线段称为相等的线段，记作AB＝CD，平面几何中线段的计算结果仍为一条线段．即使不知线段具体的长度也可以作计算．例：①如图：AB＋BC＝AC，或说：AC－AB＝BC.②若AC＝CD＝DB，则AB＝3AC＝3CD＝3BD或AC＝AB，AD＝AB，AB＝AD.
【例2】 根据语句画图并计算：作线段AB，在AB的延长线上取点C，使BC＝2AB，
M是AC的中点，若AB＝40，试求线段BM的长．
分析：画图是解决本题的关键，这样有利于找出未知线段与已知线段之间的联系，从而达到未知向已知转化的目的．本题要求BM的长，注意到BM＝AM－AB，而AB已知，问题就转化为求AM的长了，由M是AC的中点，于是问题转化为求AC的长，而AC＝AB＋BC.
解：根据题意，作图如下：
因为BC＝2AB，且AB＝40，
所以BC＝80，AC＝AB＋BC＝80＋40＝120.又因为M是AC的中点，所以
AM＝AC＝×120＝60.
所以BM＝AM－AB＝60－40＝20.
析规律 求线段长度的思路 求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可以顺利得解．
3．利用线段解决最小值问题
近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一．学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径．
解题的依据是连结两点的所有连线中线段最短．解题时，连接两个点，得到一条线段，这条线段就是所求的最短路径．
警误区 解决图形问题勿忘表述理由 在解题时，往往感觉题目很简单，从而忽略了解题步骤的书写，也有的同学只会作图，不会表述理由．
【例3】如图所示，直线MN表示一条河流，在河流两旁各有一点A，B表示两块稻田，要在河岸开渠引水灌溉稻田，问在河岸哪个位置开渠使水到两块地的距离最短？
分析：连结AB，线段AB交MN于点C，C即为开渠位置．
解：如图所示，在C点开渠．
4．线段在实践中的应用
借助于线段图解题，可以化抽象的语言为具体、形象、直观的图形，小学时我们经常利用线段图解决应用题，现在利用线段的端点的数目，可以解决许多现实生活中的应用题．
例如求往返于两地之间的某一客车中途有几个停靠站，需要多少种不同的车票，多少种不同的票价等等．
一般的，如果一条直线上有n个点，这条直线上线段的条数是.
在一条直线上(有n个停靠点)行驶的列车，需要的车票票价有种；由于车票分往返两种，所以最多需要n(n－1)种不同的车票．
【例4－1】 往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠点．
(1)该客车有__________种不同的票价？
(2)该客车上要准备__________种车票？
解析：根据题意画图表示．(1)图中线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共有10条，因此有10种不同的票价；(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以应准备20种车票．
答案：(1)10 (2)20
【例4－2】 小明乘公共汽车回姥姥家，发现这条汽车线路上共有7个小站，于是思考，(1)用于这条线路上的车票票价最多有多少种呢？(2)最多有多少种不同的车票呢？
分析：我们可以假定这7个车站在同一条直线上，于是问题(1)转化为：在同一条直线上有A，B，C，D，E，F，G 7个点，问这条直线上有多少条可以用字母表示的线段？问题(2)可以利用问题(1)求解．
解：最多有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种不同的车票票价；最多有21×2＝42种不同的车票．
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