2.7 有理数的减法
1．有理数减法的法则
(1)有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同，已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法是加法的逆运算．
但是有理数的减法不像小学里那样直接减，而是把减法转化为加法，再按加法法则和运算律进行运算．
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用字母表示为：a－b＝a＋(－b)，a－0＝a，0－a＝0＋(－a)．
(3)有理数减法运算的基本步骤是：
①将减法转化为加法；
②按有理数加法法则运算．
(4)有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成．学习时注意理解以下几点：
①弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3－5中，减数是5而不是－5，运用法则转化为加法运算后是：3－5＝3＋(－5)；同样地，在3－(－5)中，减数是－5而不是5，转化为加法运算后是：3－(－5)＝3＋(＋5)或3＋5；
②将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变．例如，运用法则把(－6)－(－8)转化为加法运算时，被减数－6不变，减数－8改变符号为＋8(或8)，减号“－”转化为加号“＋”，即(－6)－(－8)＝(－6)＋(＋8)，不要错误地做成(＋6)＋(＋8)；
③并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．例如，计算15－5时，运用小学里学过的方法可以直接得出结果为10，而运用法则计算则要先转化为加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15－5＝15＋(－5)＝10，如此运算反而显得复杂；
④一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算．例如，0－(－2)＝0＋2＝2；3－(－3)＝3＋3＝6；(－2)－(－5)＝(－2)＋5＝3；(－6)－6＝(－6)＋(－6)＝－12；3－8＝3＋(－8)＝－5.
谈重点 转化思想在减法运算中的应用 转化思想是中学数学中重要的思想方法之一，减法转化为加法便体现了这一思想．
【例1】 计算：(1)(－9)－0；(2)0－(－5)；
(3)0－5；(4)5－(－6)；
(5)(－3.2)－(－7)；(6)－.
分析：回忆有理数的减法法则，把有理数的减法转化为加法时，正数前面的正号通常省略不写，但负号不能省略．
解：(1)(－9)－0＝(－9)＋0＝－9；
(2)0－(－5)＝0＋(＋5)＝5；
(3)0－5＝0＋(－5)＝－5；
(4)5－(－6)＝5＋(＋6)＝11；
(5)(－3.2)－(－7)＝(－3.2)＋(＋7)＝3.8；
(6)－＝＋＝－.
2．有理数减法的应用
有理数减法的应用比较常见的题型有(1)计算高度；(2)计算温差；(3)计算销售利润；(4)计算距离；(5)计算时差等．
有理数减法的应用题虽然比较简单，却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．
【例2】
下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值)
城市
东京
纽约
巴黎
芝加哥
时差
＋1
－13
－7
－14
(1)如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是多少？
(2)如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少？
(3)远在芝加哥的姑妈，在当地时间是7：00时想给在巴黎的舅妈打电话，你认为合适吗？
分析：通过审题发现：同一时刻，纽约时间相当于在北京时间的基础上，减去13个小时；相反，同一时刻，北京时间相当于在纽约时间的基础上，加上13个小时；同理，同一时刻，芝加哥时间相当于在巴黎时间的基础上减去7个小时．
解：(1)因为7－13＝7＋(－13)＝－6，相当于18点(－6＋24＝18)，所以北京时间7：00时，纽约时间是前一天的18：00；
(2)因为7＋13＝20，所以纽约时间7：00时，北京时间是当天的20：00；
(3)我认为不合适．理由如下：因为7－7＝7＋(－7)＝0，所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不适合通电话．
3．有理数减法运算中明确符号“－”的含义
我们知道，“－”号在小学里就是减号，表示两个数做减法运算，在有理数中，符号“－”有三种含义：减号、负号、表示一个数的相反数．那么，在一个式子中，遇到“－”号时应按哪种含义来理解呢？
例如，计算－(－5)－(＋8)时，式子中有三个“－”号，根据本题整体情况，第一个“－”号应理解为取(－5)的相反数，第二个“－”号应理解为负号，第三个“－”号可理解为减号．这样－(－5)－(＋8)＝(＋5)＋(－8)＝－3.再如，－9－5中，第一个“－”号理解为负号最为恰当，第二个“－”号可有两种理解，一是理解为负号，此时，－9－5就表示－9与－5省略了加号的和，即－9－5＝－9＋(－5)＝－14；再是理解为减号，据减法法则仍有－9－5＝－9＋(－5)＝－14.
谈重点 “－”号的双重身份 “－”号有两个身份——性质符号、运算符号，“一号一用”是正确计算的前提．对于“－”号的含义，要结合题目的具体情况来确定，但要注意“一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，它就不能再来做另一种用途．
【例3－1】 计算：(1)(－15)－(－12)＝__________；
(2)18－23＝__________；
(3)25－(－25)＝__________；
(4)96－69＝__________；
(5)(3－7)－(9－12)＝__________.
解析：(1)减数是－12，根据法则把减法化为加法时，被减数－15不变，减数－12变为它的相反数12，得(－15)－(－12)＝(－15)＋12＝－3；(2)减数是23，把“18－”化为“18＋”时，减数23要变为它的相反数－23，故18－23＝18＋(－23)＝－5；(3)被减数是25，减数是－25，先把减法运算转化为加法运算，得25－(－25)＝25＋25＝50；(4)直接用96减去69得27就可以了；(5)根据运算顺序，要先算括号里面的，再把结果相减．
答案：(1)－3 (2)－5 (3)50 (4)27 (5)－1.
【例3－2】 计算：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)；
(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]．
分析：(1)算式中的“－”号分别是一个数(－5)的相反数、负号、减号、负号、减号、减号、负号；(2)负号、减号、减号、减号、负号．
解：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)
＝5＋(＋7)－5＋(＋6)
＝5＋7＋(－5)＋6
＝13；
(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]
＝[(－4)＋(－8)]－[3＋(＋3)]
＝－12－6
＝－18.
4.“转化—求解”的思想方法
有理数的减法是转化为加法来运算的，这种“转化－求解”的思想方法，是本节课应当重点掌握的．这与有理数绝对值的化简方法是一致的，例如求一个数的绝对值就要转化为求这个数本身或这个数的相反数．
有理数的大小比较也可以转化为有理数的减法运算．我们知道较大的数减去较小的数，结果一定是正数；反之，较小的数减去较大的数，结果一定为负数；若两数相等，结果一定为0.即若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0.
表现在数轴上就是右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数，结果为正数；反之，左边的点所表示的数减去右边的点所表示的数，结果为负数．
解技巧 求差法 利用求两个有理数的差的方法可以比较有理数的大小．若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.
【例4－1】 如果|a|＝3，|b|＝1，且a，b异号，求|a－b|的值．
分析：本题是有理数减法与相反数和绝对值的综合，解题时应仔细思考它们各自的意义和运算的方法．绝对值等于3的有理数有两个，它们是3和－3；绝对值等于1的数也有两个，它们是1和－1.又根据a，b异号，可知a＝3时，b＝－1；a＝－3时，b＝1.从而求出|a－b|的值．
解：∵|a|＝3，∴a＝3或－3.∵|b|＝1，∴b＝1或－1.
又∵a，b异号，∴|a－b|＝|3－(－1)|＝4，或|a－b|＝|－3－1|＝4.综上|a－b|＝4.
【例4－2】 用“＞”或“＜”填空：
(1)如果a＞0，b＜0，那么a－b______0，a______b；
(2)如果a＜0，b＞0，那么a－b______0，a______b；
(3)如果a＜0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b；
(4)如果a＝0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b.
解析：先按照减法法则把减法变成加法，代入特殊值求差，再根据两个数的差与其大小之间的关系判断两数的大小关系．
答案：(1)＞ ＞
(2)＜ ＜
(3)＜ ＜
(4)＜ ＜
5．利用有理数减法求数轴上两点间的距离
有理数的减法有着广泛的应用，求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一．数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．
点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.
(1)当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图，
|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|.
(2)当A，B两点都不在原点时，
①点A，B都在原点的右边，如图，
|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
②点A，B都在原点的左边，如图，
|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；
③点A，B在原点的两边，如图，
|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|.
【例5－1】 如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是__________，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是__________．
解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.
答案：7 7 2
【例5－2】 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，下面来探究在数轴上A，B两点之间的距离|AB|如何用数a，b来表示．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
(2)数轴上表示x和－3的两点之间的距离表示为__________；
(3)数轴上表示a，b的两点之间的距离表示为________．
解析：本题阅读部分将计算数轴上两点A、B之间的距离，先由特殊到一般地展示其发生发展的过程，然后归纳概括出公式|AB|＝|a－b|，即数轴上任意两点之间的距离用表示这两点的有理数的差的绝对值表示．再根据这个公式解答问题．
答案：(1)3 3 4 (2)|x＋3| (3)|a－b|
析规律 数轴上两点间的距离公式 数轴上两点A，B之间的距离公式是|AB|＝|a－b|，利用此公式可以求出数轴上任意两点之间的距离．解题时，注意求两个负数之间的距离时，要添加括号．
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