第4讲 二次根式
考纲要求
命题趋势
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)．
2．能用二次根式的性质＝|a|来化简根式．
3．能识别最简二次根式、同类二次根式．
4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.
知识梳理
一、二次根式
1．概念
形如________的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a≥0.
二、二次根式的性质
1．()2＝a(______)．
2．＝|a|＝
3．＝______(a≥0，b≥0)．
4．＝______(a≥0，b＞0)．
三、最简二次根式、同类二次根式
1．概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
2．同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
四、二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
(2)二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
自主测试
1．使有意义的x的取值范围是( )
A．x＞ B．x＞－ C．x≥ D．x≥－
2．已知y＝＋－3，则2xy的值为( )
A．－15 B．15 C．－ D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是( )
A．＝±5 B．4－＝1
C．÷＝9 D．·＝6
5．估计的值( )
A．在2到3之间 B．在3到4之间
C．在4到5之间 D．在5到6之间
6．化简：－＋.
考点一、二次根式有意义的条件
【例1】若使有意义，则x的取值范围是________．
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，可得不等式组解得－1≤x＜2.
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．
触类旁通1 要使式子有意义，则a的取值范围为__________．
考点二、二次根式的性质
【例2】把二次根式a化简后，结果正确的是( )
A． B．－ C．－ D．
解析：要使a有意义，必须－＞0，即a＜0.
所以a＝a＝＝－.
答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
触类旁通2 如果＝1－2a，则( )
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
考点三、最简二次根式与同类二次根式
【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
(2)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
解析：(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出＝|a|，＝a，＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出与是同类二次根式．
答案：(1)B (2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法：
最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
触类旁通3 若最简二次根式与是同类二次根式，则ab＝__________.
考点四、二次根式的运算
【例4】计算：(－)÷.
解：原式＝(5－2)÷＝3÷＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．
1．(2012湖南株洲)要使二次根式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )
A．2与3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
3．(2012浙江杭州)已知m＝×(－2)，则有( )
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5
C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
4．(2012广东)若x，y为实数，且满足|x－3|＋＝0，则2 012的值是__________．
5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m2)3＝m6，②＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④×÷＝15，⑤2－2＋3＝14，其中正确的运算有__________．(填序号)
1．下列各式计算正确的是( )
A．＋＝ B．2＋＝2
C．3－＝2 D．＝－
2．估计×＋的运算结果在( )
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
3．若a＜1，化简－1等于( )
A．a－2 B．2－a
C．a D．－a
4．已知实数a满足|2 011－a|＋＝a，则a－2 0112的值是( )
A．2 011 B．2 010
C．2 012 D．2 009
5．计算2－6＋的结果是( )
A．3－2 B．5－
C．5－ D．2
6．若＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
7．当－1＜x＜3时，化简：＋＝__________.
8．如果代数式有意义，则x的取值范围是________．
9．计算：(－3)0＋×＝__________.
10．计算：－1－2－(π－)0＋|－1|.
11．计算：(＋)(－)－|1－|.
12．计算：(－3)0－＋|1－|＋ .
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C 由题意得3x－1≥0，所以x≥.
2．A 由题意得2x－5≥0且5－2x≥0，解得x＝，此时y＝－3，所以2xy＝2××(－3)＝－15.
3．B ＝3，＝3，＝，＝.
4．D ＝5,4－＝4－3＝，÷＝＝3，·＝＝＝6.
5．B 因为3＝，4＝，＜＜，所以在3到4之间．
6．解：原式＝3－2＋＝＝.
探究考点方法
触类旁通1．a≥－2且a≠0 由题意，得解得a≥－2且a≠0.
触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，
所以1－2a≥0，解得a≤，故选B.
触类旁通3．1 由题意，得解得
∴ab＝1.
品鉴经典考题
1．C 因为二次根式有意义，则2x－4≥0，所以x≥2.
2．B 因为面积是15，则边长为，则边长大小在3与4之间．
3．A m＝×(－2)＝＝×3＝2＝，∵＜＜，∴5＜＜6，即5＜m＜6，故选A.
4．1 由题意得x－3＝0，y＋3＝0，则x＝3，y＝－3，所以2 012＝(－1)2 012＝1.
5．①④⑤ ②＝＝|2a－1|，③m6÷m2＝m6－2＝m4，这两个运算是错误的．
研习预测试题
1．C A项中与不是同类二次根式，B项中2与不是同类二次根式，C项中3－＝(3－1)＝2，D项中原式＝－＝－＝－.
2．C 原式＝2＋，1＜＜2，所以3＜2＋＜4.
3．D －1＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a.
4．C 由算术平方根的意义知，a≥2 012，则2 011－a＜0，
∴a－2 011＋＝a.∴＝2 011.
∴a－2 012＝2 0112，
∴a－2 0112＝2 012.
5．A 原式＝2×－6×＋2＝－2＋2＝3－2.
6．1 因为由题意得x＋1＝0，y－2 012＝0，所以x＝－1，y＝2 012，所以xy＝(－1)2 012＝1.
7．4 原式＝＋＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4.
8．x＞3
9．解：原式＝1＋2×＝1＋6＝7.
10．解：原式＝－2－1＋1＝－.
11．解：原式＝()2－()2－(－1)＝3－2－＋1＝2－.
12．解：原式＝1－3＋－1＋－＝－2.
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