第11讲 反比例函数
考纲要求
命题趋势
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．
3．能用反比例函数解决简单实际问题.
反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主.
知识梳理
一、反比例函数的概念
一般地，形如________________(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量________，函数与x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
二、反比例函数的图象与性质
1．图象
反比例函数的图象是双曲线．
2．性质
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________；当k＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
三、反比例函数的应用
1．利用待定系数法确定反比例函数解析式
由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．
2．反比例函数的实际应用
解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．
自主测试
1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x
2．已知点P(－1,4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A．－ B． C．4 D．－4
3．若点A(1，y1)，B(2，y2)是双曲线y＝上的点，则y1__________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
考点一、反比例函数的图象与性质
【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________．
解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.
答案：m＞1
方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况．
2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限．
触类旁通1 若双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是__________．
考点二、反比例函数解析式的确定
【例2】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．
解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)．
∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2.
∴这个反比例函数的解析式为y＝.
方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．
触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)．
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．
考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义
【例3】已知点P在函数y＝(x＞0)的图象上，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A，B，则矩形OAPB的面积为__________．
解析：矩形OAPB的面积等于|xy|＝|k|＝2.
答案：2
方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.
触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A是图象上任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，如果△AOM的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．
1．(2012浙江台州)点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1
C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
2．(2012湖南常德)对于函数y＝，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
3.(2012贵州铜仁)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝的图象经过点A，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
4．(2012兰州)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上．若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为__________．
5．(2012四川成都)如图，一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象与反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(－1,4)．
(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
6．(2012四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( )
A．(－3,2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(6,1)
2．若函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜－2
C．m＞2 D．m＜2
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A．图象经过点(1，－1)
B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－的图象上的三点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
5．反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的点P的坐标为__________．
6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为__________．
7．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求直线AB的解析式．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k＞0，A，D选项不是反比例函数，故选B.
2．D k＝xy＝－1×4＝－4.
3．＞ 因为当x＝1时，y1＝3；当x＝2时，y2＝，
所以y1＞y2.
探究考点方法
触类旁通1．k＜ ∵图象经过第二、四象限，
∴2k－1＜0，∴k＜.
触类旁通2．分析：(1)把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；
(2)以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P.
解：(1)∵点A(－1，n)在一次函数y＝－2x的图象上，
∴n＝－2×(－1)＝2.∴点A的坐标为(－1,2)．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝－2.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
(2)点P的坐标为(－2,0)或(0,4)．
触类旁通3．y＝ 设反比例函数为y＝(k≠0)．
∵△AOM的面积可表示为S△AOM＝|k|，
又∵S△AOM＝3，∴|k|＝3.∴|k|＝6.
∵双曲线在第一、三象限，∴k＞0.∴k＝6.
∴反比例函数的解析式为y＝.
品鉴经典考题
1．D 因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，所以0＜y3＜y2，点(－1，y1)在第三象限，所以y1＜0＜y3，所以y1＜y3＜y2.
2．C 因为k＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y随x的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A，B，D正确，C错误．
3．D 因为正方形ABOC的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k的几何意义，又图象在第二象限，所以k＝－4.
4．2 延长BA交y轴于点E，则矩形EBCO的面积为3，矩形EADO的面积为1，所以矩形ABCD的面积为3－1＝2.
5．解：(1)把A(－1,4)代入y＝得k＝－4，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把A(－1,4)代入y＝－2x＋b得－2×(－1)＋b＝4，
解得b＝2.
∴一次函数解析式为y＝－2x＋2.
(2)将y＝－和y＝－2x＋2组成方程组
解得或所以B点坐标是(2，－2)．
6．解：(1)药物燃烧后，设y与x的函数关系式为y＝.把B(25,6)代入得6＝，解得k1＝150.
∴药物燃烧后，y与x的函数关系式为y＝.
令y＝＝10，解得x＝15.∴A(15,10)．
药物燃烧时，设y与x的函数关系式为y＝k2x.
把A(15,10)代入得10＝15k2，
解得k2＝.
∴药物燃烧时y与x的函数关系式为y＝x(0≤x＜15)，药物燃烧后y与x的函数关系式为y＝(x≥15)．
(2)把y＝2代入y＝，得＝2，解得x＝75，
∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室．
研习预测试题
1．A 因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，－3×2＝－1×6，故选A.
2．B 因为在象限内y的值随x值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m＋2＜0，即m＜－2，故选B.
3．C 因为k＝1＞0，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y随x的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.
4．A ∵k＝－4，∴图象两分支在第二、四象限，在每个象限y随x增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴0＜y1＜y2.
∵x3＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2，故选A.
5．(－1，－2)(答案不唯一) 因为图象过点A(1,2)，所以k＝2，只需点P的横纵坐标均为负数且乘积为2即可．
6． ∵AO＝10，sin∠AOB＝，∴AB＝6，
∴OB＝8.∵点C是OA中点，∴OC＝5，∴C点的坐标为(4,3)，∴k＝12.∵D点横坐标为8，∴纵坐标为＝.
7．y＝－
8．解：(1)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝2＋4＝6.
∵CE⊥x轴于点E，
∴tan∠ABO＝＝，∴CE＝3.
∴点C的坐标为(－2,3)．
设反比例函数的解析式为y＝(m≠0)．
将点C的坐标代入，得3＝，m＝－6.
∴该反比例函数的解析式为y＝－.
(2)∵OB＝4，∴B(4,0)．
∵tan∠ABO＝＝，∴OA＝2，∴A(0,2)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
将点A，B的坐标分别代入，得
解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.
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