2.6 有理数的加法
1．有理数的加法法则
(1)有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加．如，(＋3)＋(＋2)＝＋(|3|＋|2|)＝5，(－3)＋(－2)＝－(|3|＋|2|)＝－5.②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．如，3＋(－2)＝＋(|3|－|－2|)＝1，(－3)＋(＋2)＝－(|－3|－|2|)＝－1.③互为相反数的两个数相加得0.如，(－5)＋5＝0.④一个数同0相加，仍得这个数．如，(－5)＋0＝－5,5＋0＝5.
(2)从有理数的加法法则可以得出：如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.
(3)进行有理数加法运算的步骤：①观察符号；②回忆法则；③计算绝对值．
(4)注意：在小学学过的加法中，和一定大于等于每一个加数，在数的范围扩大到有理数之后这个结论就不成立了．两个加数的和不一定大于其中的每一个加数．当两个加数都是负数时，和一定小于其中每一个加数．
【例1】 计算：
(1)(－3)＋(－12)；
(2)＋；
(3)(－12.5)＋(＋12.5)；
(4)＋0.
分析：(1)小题属于同号两数相加，先确定符号——取相同的符号“－”号，再进行绝对值的运算——把绝对值相加“3＋12”；(2)小题属于异号两数相加，先确定符号——取绝对值较大的加数的符号“＋”号，再进行绝对值的运算——用较大的绝对值减去较小的绝对值“2－”；(3)(4)小题分别属于“互为相反数的两数相加”和“一个数与0相加”，根据法则分别得0和－10.
解：(1)原式＝－(3＋12)＝－15；
(2)原式＝＋
＝＋
＝＋1＝1；
(3)原式＝0；
(4)原式＝－10.
谈重点 进行有理数加法运算的关键 一个有理数由正负号与绝对值两部分组成，所以进行有理数加法运算时，必须分别确定和的正负号与和的绝对值．
2．有理数加法的运算律
(1)有理数的加法仍满足加法交换律和结合律．
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b＝b＋a.
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化．
根据加法结合律和交换律，三个或三个以上的有理数相加，可以写成这些数的连加式．对于连加式，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加，使计算简化．在连加式中，任意交换加数的位置时，也要注意不能漏掉加数的符号．
(3)在有理数的加法运算中一般交换律与结合律同时使用，由于数的范围扩大到了有理数，在这里，a，b，c除了表示正数外，还可以表示负数和零，所以应用运算律时，要特别注意加数的符号．
【例2】 计算：
(1)(＋7.6)＋(－18)＋(＋3.4)＋(－12)；
(2)1.75＋＋3＋＋.
分析：(1)小题中的四个加数，两个正数，两个负数，并且两个正数相加得较整的数，所以运用有理数加法运算律，可以先把两个正数和两个负数分别相加，再把所得的结果相加．(2)小题中考虑到1.75与－1是互为相反数，其和为0，3与2是同分母，其计算较简单，因此可以先把它们分别相加；再把结果与－6相加即可．
解：(1)原式＝[(＋7.6)＋(＋3.4)]＋[(－18)＋(－12)]＝11＋(－30)＝－19；
(2)原式＝＋＋＝0＋6＋＝6＋＝－＝－.
释疑点 运用有理数加法运算律的关键
认真观察各数的特点，合理运用有理数加法运算律，把易于计算的数(如可以凑整的数，和为零的数，分母相同的数，符号相同的数等)，集中先算，使计算简化．
3．有理数加法的应用
随着社会的发展，根据实际生活的需要，有理数的加法在实际生活中的应用更加广泛，也成为近几年的热点问题．比较常见的有理数的加法应用有两种：一是用绝对值相加解决问题；二是用原数相加解决问题．
解题时将现实生活中的实际问题转化为数学模型，然后应用数学方法解决．
谈重点 有理数加法应用的两种类型 绝对值相加——只考虑数量；原数相加——不仅考虑数量，还考虑意义．
【例3】 某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从A地出发，每隔10分钟记录下自己的跑步情况(向南为正方向，单位：米)：－1 008，1 100，－976,1 010，－827,946.1小时后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距A地多远？小明共跑了多少米？
分析：(1)求出记录的各数的和，由于向南为正，所以若和为正，则小明在A地的南方，若和为负，则小明在A地的北方；(2)求总路程，与方向无关，即与数的符号无关，也就是求各数的绝对值的和．
解：(－1 008)＋1 100＋(－976)＋1 010＋(－827)＋946＝245(米)，
因此，小明在A地的南边，距A地245米．
|－1 008|＋|1 100|＋|－976|＋|1 010|＋|－827|＋|946|＝5 867(米)．
所以小明共跑了5 867米．
警误区 路程问题中负数的意义 这里的负数不是代表路程为负数，而是代表方向，路程是所有数字绝对值的和．
4．含有字母的有理数加法的运算
我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：
①同号两数相加：
若a＞0，b＞0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)；
若a＜0，b＜0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．
②异号两数相加：
若a＞0，b＜0，且|a|＝|b|，则a＋b＝0；
若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＝＋(|a|－|b|)；
若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b＝－(|b|－|a|)．
③一个数与0相加：a＋0＝a.
警误区 字母并不一定表示正数 不少同学看到字母a，b时总认为是正数，这是错误的，因为我们已经学习了负数，要在脑子里逐渐形成分类讨论的思维方式．
【例4－1】 根据加法法则填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b__________0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b__________0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b__________0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a＋b__________0.
解析：(1)(2)和的符号与加数的符号相同；(3)(4)和的符号由绝对值较大的加数的符号决定．
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
【例4－2】 已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＞|b|＞|c|，则
(1)|a＋(－b)|＝__________；
(2)|a＋b|＝__________；
(3)|a＋c|＝__________；
(4)|b＋(－c)|＝__________；
(5)|b＋c|＝__________.
解析：(1)(3)(4)是同号两数相加，和的绝对值等于绝对值的和；(2)(5)是异号两数相加，和的绝对值等于绝对值的差．
答案：(1)|a|＋|b| (2)|a|－|b| (3)|a|＋|c|
(4)|b|＋|c| (5)|b|－|c|
5.应用运算律求多个有理数的和
为使运算简捷，可根据数字的特征，利用加法的运算律求和，常见的技巧有：
(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加，和为整数的加数结合先加；
(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来．
当同一个算式中既有分母，又有小数时，一般要统一化为分数或小数(选择计算简便的那种形式)后，再计算．
(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加．
利用有理数加法的运算律，通常可以求多个按规律排列的有理数的和，解题的关键是找出这些加数的特征和内在联系，其中运用凑1法和凑－1法是常见的方法．
【例5－1】 计算：
(1)(－7)＋5＋(－3)＋4；
(2)16.96＋(－3.8)＋5.2＋(－0.2)＋(－0.96)；
(3)(－4)＋2＋＋.
分析：(1)将正、负数分别结合相加；(2)16.96＋(－0.96)和(－3.8)＋(－0.2)都是整数，应当先相加；(3)将互为相反数的两个数相加．
解：(1)原式＝(5＋4)＋[(－7)＋(－3)]＝9＋(－10)＝－1.
(2)原式＝[16.96＋(－0.96)]＋[(－3.8)＋(－0.2)]＋5.2＝16＋(－4)＋5.2＝17.2.
(3)原式＝(－4)＋＋＝(－4)＋＋0＝－4.
【例5－2】 计算1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋2 009＋(－2 010)．
分析：运用结合律把2 010个加数分成1 005组，每相邻的两个数分为一组，容易算出每一组的和都是－1.所以共有1 005个－1相加，结果就是－1 005.
解：1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋2 009＋(－2 010)
＝[1＋(－2)]＋[3＋(－4)]＋…＋[2 009＋(－2 010)]＝＝－1 005.
6．“互为相反数的两个数的和为0”的推广与应用
(1)两个非负数的和为0，则两个数均为0.
理由：两个数的和为0有两种情形：①正＋负；②0＋0，由于两个数均不为负，所以只可能是第二种情形“0＋0”，即每一个加数均为0.
(2)若干个非负数的和为零，则它们分别为零．本章主要类型是|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，b＝0，c＝0.
绝对值的非负性是中考中的热点考题，一定要熟练掌握．
【例6－1】 已知：|a|＋|b－2|＝0，则a×b＝__________.
解析：因为|a|≥0，|b－2|≥0，且|a|＋|b－2|＝0，所以a＝0，b－2＝0，所以b＝2，所以a×b＝0×2＝0.
答案：0
【例6－2】 若|a－5|＋|b＋2|＋|c－1|＝0，求a＋b＋c的值．
分析：由“若干个非负数的和为零，则它们分别为零”，易得：a－5＝0，b＋2＝0，c－1＝0，从而易求出a＝5，b＝－2，c＝1，所以a＋b＋c＝5＋(－2)＋1＝4.
解：因为|a－5|≥0，|b＋2|≥0，|c－1|≥0，且|a－5|＋|b＋2|＋|c－1|＝0，
所以|a－5|＝0，|b＋2|＝0，|c－1|＝0，得a＝5，b＝－2，c＝1.所以a＋b＋c＝5－2＋1＝4.
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