第20讲 梯形
考纲要求
命题趋势
1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．
2．掌握等腰梯形的性质与判定．
3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.
等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.
知识梳理
一、梯形的有关概念及分类
1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．
2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
3．梯形的分类：
梯形
4．梯形的面积＝(上底＋下底)×高＝中位线×高．
二、等腰梯形的性质与判定
1．性质：
(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．
(2)等腰梯形同一底上的两个角________．
(3)等腰梯形的对角线________．
(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．
2．判定：
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．
(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．
(3)对角线相等的________是等腰梯形．
三、梯形的中位线
1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．
2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．
四、梯形问题的解决方法
梯形问题常通过三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：
1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．
2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．
3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．
4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．
5．过一腰中点作辅助线．
(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；
(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．
自主测试
1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )
A．2 B． C．3 D．
2．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )
A．∠ADE＝∠CDE
B．DE⊥EC
C．AD·BC＝BE·DE
D．CD＝AD＋BC
4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．
考点一、一般梯形的性质
【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．
∴AE∥DF，∠AEF＝90°.
∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．
∴EF＝AD＝3，AE＝DF.
∵BD＝CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC边BC上的中线．
∵∠BDC＝90°，∴DF＝BC＝BF＝4.
∴AE＝4，BE＝BF－EF＝4－3＝1.
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，
∴AB＝＝.
方法总结 遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．
触类旁通1 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由．
(2)当AB＝DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
考点二、等腰梯形的性质与判定
【例2】如图，在等腰△ABC中，点D，E分别是两腰AC，BC上的点，连接AE，BD相交于点O，∠1＝∠2.
(1)求证：OD＝OE；
(2)求证：四边形ABED是等腰梯形．
分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD＝AE，根据∠1＝∠2可以证明OA＝OB，根据等式性质可知OD＝OE；(2)先证明四边形ABED是梯形，然后证明两腰相等即可．
证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC.
∴∠BAD＝∠ABE.
又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE，∴BD＝AE.
又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB.
∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.
(2)由(1)知，OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE.
∴∠OED＝(180°－∠DOE)．
同理，∠1＝(180°－∠AOB)．
∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.
∵AD不平行于BE，∴四边形ABED是梯形，
∵AE＝BD，∴梯形ABED是等腰梯形．
方法总结 在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．
触类旁通2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M，N分别为AO，DO的中点，四边形
BCNM是等腰梯形吗？为什么？
考点三、有关梯形的计算
【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝，BC＝4，求DC的长．
分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝4，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.
解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形．
∴AE＝DC，AD＝EC＝.
又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝4，
∴AB＝AC＝4.
∴AF＝BF＝2.
∴EF＝BC－BF－EC＝.
在Rt△AFE中，AE＝＝＝，即DC＝.
方法总结 解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．
触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.
A．AC＝BD
B．OB＝OC
C．∠BCD＝∠BDC
D．∠ABD＝∠ACD
2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )
A．正方形 B．矩形
C．等腰梯形 D．直角梯形
3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A．10 B．4
C．10或4 D．10或2
4．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC的长为__________．
5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.
6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.
求证：∠B＝∠E.
1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )
A．6 B．7
C．8 D．10
2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )
A．3cm2 B．6 cm2
C．6cm2 D．12 cm2
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC，AB＝8 cm，则△COD的面积为( )
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，梯形ABCD的周长为26，BE＝4，则△DEC的周长为__________．
(第5题图)
6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7 cm，BC＝8 cm，则AB的长度是__________ cm.
(第6题图)
7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝4，则梯形ABCD的面积是__________．
(第7题图)
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF＝__________.
(第8题图)
9．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．D 2．B 3．C 4．1＜x＜7
探究考点方法
触类旁通1．解：(1)AD＝BC.
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴AD＝BE，AD＝FC.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，∴AD＝BE＝EF＝FC，
∴AD＝BC.
(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE＝AB，AF＝DC.
∵AB＝DC，∴DE＝AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN∥AD∥BC，且MN≠BC，∴四边形BCNM为梯形．在矩形ABCD中，AO＝DO，又M，N分别是AO，DO的中点，
∴OM＝ON，∴CM＝BN，∴四边形BCNM是等腰梯形．
触类旁通3．2 ∠CAB＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠B＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°.
又∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°＝∠DAC.
∴CD＝AD＝BC＝2 cm.
品鉴经典考题
1．C 对于A，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，故本选项正确；
对于B，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，故本选项正确；
对于C，∵无法判定BC＝BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；
对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．
故选C.
2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.
3．C 考虑两种情况．
①如图：
因为CD＝＝2，
点D是斜边AB的中点，
所以AB＝2CD＝4.
②如图：
因为CE＝＝5，点E是斜边AB的中点，
所以AB＝2CE＝10，
故原直角三角形纸片的斜边长是10或4.
4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.
∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.
5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.
∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.
6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.
∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.
∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.
研习预测试题
1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．9
8．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.
易得四边形ACGD为平行四边形，
∴CG＝AD＝4，BG＝BC＋CG＝8＋4＝12.
∵AC⊥BD，AC∥DG，∴BD⊥DG.
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝DG.
∴△BDG为等腰直角三角形．
又∵DF⊥BC，∴DF＝BG＝6.
∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10.
9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAE＝∠DAB＝30°.
又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠CBE.∴CE＝BC＝AD.
∵CD∥AE，AE＝AB＋BE＝DC＋BE≠DC，
∴四边形AECD是等腰梯形．
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