2013版中考总复习基础讲练_第24讲圆的有关性质含答案点拨.doc

第七单元 圆 第 24 讲 圆的有关性质 纲要求 命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解 圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质，与垂径定理有关的计算，与圆 有关的角的性质及其应用．题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________， 定长叫做________； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与 动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦； (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧． (3)________相等的两个圆是等圆． (4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的 旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧． 2．推论 1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经 过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧________． 4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所 对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成 立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义 顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角 叫做圆周角． 2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数． (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半． (3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________． (4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________． 五、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补． 自主测试 1．如图，⊙O 的弦 AB垂直平分半径 OC，若 AB＝ 6，则⊙O 的半径为( ) A． 2 B．2 2 C． 2 2 D． 6 2 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的 长为( )5． 如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交⊙A 于 M，N 两点，若点 M 的坐标是(－4，－2)，则弦 MN 的长为__________． (第 5 题图) 考点一、垂径定理及推论 【例 1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽 AB 为 6 分米，如果再注入一 些油后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 MN 为( )A．6 分米 B．8 分米 C．10 分米 D．12 分米 分析：如图，油面 AB 上升 1 分米得到油面 CD，依题意得 AB＝6，CD＝8，过 O 点作 AB 的垂线，垂足为 E，交 CD 于 F 点，连接 OA，OC，由垂径定理，得 AE＝1 2AB＝3， CF＝1 2CD＝4，设 OE＝x，则 OF＝x－1，在 Rt△OAE 中，OA2＝AE2＋OE2，在 Rt△OCF 中， OC2＝CF2＋OF2，由 OA＝OC，列方程求 x 即可求得半径 OA，得出直径 MN. 解析：如图，依题意得 AB＝6，CD＝8，过 O 点作 AB 的垂线，垂足为 E，交 CD 于 F 点，连接 OA，OC， 由垂径定理，得 AE＝1 2AB＝3，CF＝1 2CD＝4， 设OE＝x，则 OF＝x－1， 在 Rt△OAE 中，OA2＝AE2＋OE2， 在 Rt△OCF 中，OC2＝CF2＋OF2， ∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得 x＝4，∴半径 OA＝ 32＋42＝5，∴直径 MN ＝2OA＝10(分米)．故选 C. 答案：C 方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解 直角三角形来达到求解的目的． 触类旁通 1 如图所示，若⊙O 的半径为 13 cm，点 P 是弦 AB 上一动点，且到圆心的 最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为__________ cm. 考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例 2】如图，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，AB＝BC，BD 交 AC 于点 E，连 接 CD，AD.(1)求证：DB 平分∠ADC； (2)若 BE＝3，ED＝6，求 AB 的长． 解：(1)证明：∵AB＝BC， ∴  AB BC .∴∠ADB＝∠BDC， ∴DB 平分∠ADC. (2)由(1)知  AB BC ，∴∠BAE＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴AB BE ＝BD AB. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9. ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3 3. 方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为 我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用． 触类旁通 2 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 两点在⊙O 上，若∠C＝40°，则∠ABD 的度数为( ) A．40° B．50° C．80° D．90° 考点三、圆周角定理及推论 【例 3】如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝( ) A．116° B．32° C．58° D．64° 解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心 角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是 180° 知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于 90°，可得∠ADB＝ 90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°. 答案：B 方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通 3 如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上， CD 的度数等于 84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________. A．CM＝DM B．  CD DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD 3．(2012 浙江湖州)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C＝50°， ∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，则∠BAD 的度数是( ) (第 3 题图) A．45° B．85° C．90° D．95° 4．(2012 浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为__________ mm. 7．(2012 湖南长沙)如图，A，P，B，C 是半径为 8 的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD. 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB＝10，CD＝8，那么线段 OE 的长为( )A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点， 则∠OBC 的余弦值为( ) A．1 2 B．3 4 C． 3 2 D．4 5 3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB＝10，截面圆圆心 O 到 水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是( ) A．16 B．10 C．8 D．6 4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB 在 O 点钉在 一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE＝8 个单位，OF ＝6 个单位，则圆的直径为( ) (第 4 题图) A．12 个单位 B．10 个单位 C．4 个单位 D．15 个单位 5．已知如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠B＝30°，则∠D＝__________. (第 5 题图)6．如图，过 A，C，D 三点的圆的圆心为 E，过 B，F，E 三点的圆的圆心为 D，如果 ∠A＝63°，那么∠DBE＝__________. (第 6 题图) 7．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD⊥BC 于 D 点，且 AC＝5，DC＝3，AB＝4 2， 则⊙O 的直径等于________． (第 7 题图) 8．如图，在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧 AD 上一点， BC＝AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于点 E.求证： (1)△ABD 为等腰三角形； (2)AC·AF＝DF·FE. 参考答案 导学必备知识 自主测试 1．A 2．D 3．60° 4．90° 5．3 如图，过点 A 作 AB⊥MN，连接 AM， 设 MB 为 x，则 AM＝AO＝4－x. 在 Rt△AMB 中， ∵AM2＝MB2＋AB2，∴(4－x)2＝x2＋22，解得 x＝3 2. ∴MN＝2MB＝3. 探究考点方法 触类旁通 1．24 连接 OA，当 OP⊥AB 时，OP 最短，此时 OP＝5 cm，且 AB＝2AP. 在 Rt△AOP 中，AP＝ OA2－OP2＝ 132－52＝12，所以 AB＝24 cm. 触类旁通 2．B 由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD ＝50°. 触类旁通 3．48° 因为 CD 的度数等于 84°，所以∠COD＝84°.因为 OC＝OD，所以∠ OCD＝48°.因为 CA 是∠OCD 的平分线 ，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为 OA＝OC，所以 ∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°. 品鉴经典考题 1．A ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选 A. 2．D ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M， ∴M 为 CD 的中点，即 CM＝DM，选项 A 成立； B 为 CD 的中点，即 CB＝DB，选项 B 成立； 在△ACM 和△ADM 中， ∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM， ∴△ACM≌△ADM(SAS)， ∴∠ACD＝∠ADC，选项 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立． 故选 D. 3．B ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，∴ ∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD 的度数是 180°－45°－50°＝85°. 4．8 如图所示，在⊙O 中，连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则 AB＝2AD. ∵钢珠的直径是 10 mm， ∴钢珠的半径是 5 mm. ∵钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm， ∴OD＝3 mm. 在 Rt△AOD 中， ∵AD＝ OA2－OD2＝ 52－32＝4(mm)． ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)． 故答案为 8. 5．2 ∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于 C，AB＝2 3， ∴BC＝1 2AB＝ 3.∵OC＝1， ∴在 Rt△OBC 中， OB＝ OC2＋BC2＝ 12＋ 32＝2. 故答案为 2. 6．1 50 因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为 60°，所以∠ABC 所对的弧度为 300°. 因为∠ABC 是圆周角，所以∠ABC＝150°. 7．(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形． (2)解：如图，连接 OB，则 OB＝8，∠OBD＝30°. 又∵OD⊥BC 于 D，∴OD＝1 2OB＝4. 研习预测试题 1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18° 7．5 2 连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE.(如图) ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90°. ∴∠ABE＝∠ADC. 又∵∠AEB＝∠ACD， ∴△ABE∽△ADC. ∴AB AD ＝AE AC.∵在 Rt△ADC 中，AC＝5，DC＝3， ∴AD＝4.∴AE＝5 2. 8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA， ∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD 为等腰三角形． (2)∵∠DBA＝∠DAB，∴  AD BD . 又∵BC＝AF，∴  BC AF ，∠CDB＝∠FDA， ∴  CD DF ，∴CD＝DF. 由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知， ∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，① ∠FAE＝∠BDE. ∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，② 由①②得△CDA∽△FAE.∴AC FE ＝CD AF ， ∴AC·AF＝CD·FE. 而 CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE.