2.8 有理数的加减混合运算
1．加减法统一成加法
(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．
(2)在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.
(3)和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”．
(4)有理数的加减运算写成和式的方法：
①减法变加法，省略加号和括号；
②一个数前有两个负号的，变加号，然后省略加号．
谈重点 “＋”号和“－”号的双重含义 正确理解算式中“＋”号和“－”号的意义，它们有双重含义：①可以理解为性质符号，读作“正”“负”；②可以理解为运算符号，读作“加”“减”．
【例1】 把－＋－写成省略加号的和的形式，并把它读出来．
分析：先根据减法法则——减去一个数，等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，然后省略加号(包括各个加数的括号)．
解：原式＝＋＋＋(运用减法法则)
＝－4＋5－4－3.(省略加号)
读作“－4，5，－4，－3的和”，也可以读作“－4加5减4减3”．
警误区 省略加号时勿忘省略括号 省略加号时，别忘省略各个加数的括号．
2．有理数加减混合运算的基本步骤及方法
(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数；互为相反数的两数相加得零．
(2)有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
(3)加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(4)加减混合运算的基本步骤是：①把混合运算中的减法转变为加法，写成前面是加号的形式；②省略加号和括号；③恰当运用加法交换律和结合律简化计算；④在每一步的运算中都须先确定符号，然后计算绝对值．
(5)在具体的运算过程中，有以下两种常用的方法：①按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；②把加减法混合运算统一成加法，写成和式的形式后，再运用运算律进行计算．
释疑点 有理数加减混合运算需注意的问题 在运算熟练之后可以省去减法变加法这一步骤，直接写成省略加号的形式；在交换数的前后位置时，应连同它前面的符号一起交换．
【例2】 计算：
(1)0－3－6＋11－5；
(2)－＋＋；
(3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；
(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5；
(5)(－15)＋(－6.3)－13＋15－(－6.3)－(－23)；
(6)3＋2.25－2＋1.875.
分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式．在五个加数中，考虑到－3，11，－5三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为：＋＋＋，考虑到、、便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合；(5)统一成加法后，由于互为相反数的两个数的和为0，因此把互为相反数的加数相结合；(6)当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般应先统一成同一种数字的形式．至于统一成分数还是小数，具体应依据哪一种数字形式计算简便来确定，如本题统一成小数较简单．
解：(1)0－3－6＋11－5
＝(0－6)＋
＝－6＋＝－2；
(2)－＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(－1)＋＝－1；
(3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18
＝－5＋21－12＋8＋4－18
＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)
＝33－35＝－2；
(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5
＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5
＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)
＝14＋11－10＝15；
(5)(－15)＋(－6.3)－13＋15－(－6.3)－(－23)
＝－15－6.3－13＋15＋6.3＋23
＝(－15＋15)＋(－6.3＋6.3)＋(－13＋23)＝10；
(6)3＋2.25－2＋1.875
＝3.125＋2.25－2.75＋1.875＝(3.125＋1.875)＋(2.25－2.75)
＝5－0.5＝4.5.
3．有理数加减混合运算的注意事项
①运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉，因为一个数包括两个方面，一方面是符号，另一方面是绝对值．例如8－5＋7应变成8＋7－5，而不能变成8－7＋5；
②
应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便；
③当分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算；
④如果有大括号和小括号应当先转化小括号里的运算，再转化大括号里的运算．
反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．
【例3】 计算：(1)＋(－7.5)＋＋；
(2)|5－3|＋4－.
分析：异分母分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．
解：(1)＋(－7.5)＋＋
＝－8－7.5－21＋3
＝－8－21－7.5＋3
＝－30－4
＝－34.
(2)＋4－
＝5－3＋4－
＝5－－3＋4
＝5＋1
＝6.
4.既含小数又含分数的有理数加减混合运算
解题时先将减法转化为加法，再按照以下的四条思路进行转化：
一是将小数统一化成分数，
二是将分数统一化成小数，
三是将小数与小数，分数与分数分别结合，
四是将各数的整数部分和分数(小数)部分分别结合．
析规律 有理数加减混合运算的运算顺序 注意运算的顺序，如果是同一级的运算，可以同时完成化简绝对值符号和减法变加法的运算过程．
有括号的要先计算括号里面的，有绝对值符号的也要先根据数或式的取值范围化去绝对值符号再进行运算．
【例4】 计算：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)；
(2)(－1)－.
分析：有多重括号的，先计算小括号里面的，再计算大括号里面的，有绝对值符号的要先把绝对值符号化简．
解：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)
＝－4.2－[(－0.2)－(－7.1)]＋(－3.8)
＝－4.2－[(－0.2)＋(＋7.1)]＋(－3.8)
＝－4.2＋(－6.9)＋(－3.8)＝－14.9.
(2)(－1)－
＝(－1)－
＝(－1)－2
＝－3.
5．有理数加减混合运算的应用
(1)利用有理数加减运算的法则解数字规律题
解决此类问题的关键是仔细观察数字的特点，建立数字、运算、符号与式子的序号之间的关系，从而找到规律，再用数字和运算去反映和表达规律．
(2)利用有理数加减运算的规律解决实际生活中的应用题
主要的题型有：在一条公路上来回检修公路，求行进的总里程数或求离开原出发点的距离和方向，一般要求几个有理数的和；足球守门员练习折返跑，求守门员是否回到了原来的位置或者求折返跑的总路程等．
(3)在进行有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化．有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性．
【例5】 计算下列各题并总结出规律．
(1)1＋2＋3＋…＋2 008＋2 009＋2 010；
(2)1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010.
分析：(1)运用加法运算律可得1＋2 010＝2 011,2＋2 009＝2 011，…，即第1个数与最后一个数的和是2 011，第2个数与倒数第2个数的和是2 011，…，依此类推，共1 005个2 011，故若有n个连续自然数相加，则有个首项与末项之和，从而得到1＋2＋…＋n＝；
(2)因1－2＝－1,3－4＝－1，…，依次向后，每相邻两个数之和都等于－1，共有1 005个－1，故可得规律：1－2＋3－4＋…＋(n－1)－n＝－.
解：(1)原式＝(1＋2 010)＋(2＋2 009)＋…＋(1 005＋1 006)＝2 011×1 005＝2 021 055；
(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 009－2 010)＝－1 005.
规律：(1)1＋2＋3＋…＋n＝；
(2)1－2＋3－4＋…＋(n－1)－n＝－(n为偶数)．
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