专题一 图表信息
图表信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力．解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问题．
这种题型命题广泛，应用知识多，是近几年各地中考的一种新题型，也是今后命题的热点，考查形式有选择题、填空题、解答题．
考向一 表格信息问题
表格信息问题涉及知识点比较广泛，主要有统计、方程(组)、不等式(组)、函数等．解答时关键要根据表格提供的信息，建立相应的数学模型．
【例1】2011年4月25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案)》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3 000元的部分不必纳税，超过3 000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算.
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1 500元的部分
5%
2
超过1 500元至4 500元的部分
10%
3
超过4 500元至9 000元的部分
20%
……
……
……
依据草案规定，解答下列问题：
(1)李工程师的月工薪为8 000元，则他每月应当纳税多少元？
(2)若某纳税人的月工薪不超过10 000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由．
分析：(1)由于当工资为8 000元时，应该纳税，而且应该按照三个级别分别纳税；(2)由于工资为10 000元时，要分三种情况进行讨论：①工资小于等于4 500元；②工资大于4 500元但小于等于7 500元；③工资大于7 500元小于10 000元．
解：(1)李工程师每月纳税：1 500×5%＋3 000×10%＋(8 000－7 500)×20%
＝75＋300＋100＝475(元)
(2)设该纳税人的月工薪为x元，则
当x≤4 500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%.
当4 500＜x≤7 500时，由1 500×5%＋(x－4 500)×10%＞8%x，
得x＞18 750，不满足条件．
当7 500＜x≤10 000时，由1 500×5%＋3 000×10%＋(x－7 500)×20%＞8%x，
解得x＞9 375，故9 375＜x≤10 000.
答：若该纳税人月工薪大于9 375元且不超过10 000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%.
方法归纳 本题涉及的数学思想是分类思想．解题时分类讨论是解决问题的关键．
考向二 图象信息问题
图象信息问题涉及的知识点主要是函数问题．解答时要注意分析图象中特殊“点”反映的信息．
【例2】在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示．
(1)填空：A，C两港口间的距离为__________ km，a＝__________；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
分析：根据函数图象，容易发现A，B，C三港口位置示意图如下：
图象中点P表示当甲到达B港口后再经过一段时间，甲、乙二船与B港口的距离相等，因此可以有两种解法，一种是利用函数解析式来求交点坐标；另一种则是利用追及问题一般方法来解，设甲船追上乙船时，用了t小时，则可知甲船t小时比乙船多行了30 km，由图容易知道甲、乙两船的速度分别是60 km/h,30 km/h，于是可列方程60t＝30t＋30轻松求解．对于第(3)小题，应该通过分类讨论来解决问题．
解：(1)120 2
(2)由点(3,90)求得，y2＝30x.
当x＞0.5时，由点(0.5,0)，(2,90)求得y1＝60x－30.
当y1＝y2时，60x－30＝30x，解得x＝1.
此时y1＝y2＝30.所以点P的坐标为(1,30)．
该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km.
求点P的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为＝60(km/h)，
乙的速度为＝30(km/h)．
则甲追上乙所用的时间为＝1(h)．
此时乙船行驶的路程为30×1＝30(km)．
所以点P的坐标为(1,30)．
(3)①当x≤0.5时，由点(0,30)，(0.5,0)求得，y1＝－60x＋30.
依题意，(－60x＋30)＋30x≤10.
解得x≥，不合题意．
②当0.5＜x≤1时，依题意，30x－(60x－30)≤10.
解得x≥.所以≤x≤1.
③当x＞1时，依题意，(60x－30)－30x≤10.
解得x≤.所以1＜x≤.
综上所述，当≤x≤时，甲、乙两船可以相互望见．
方法归纳 本题涉及数形结合、分类讨论的数学思想．解题的关键是确定三个港口的位置．难点是对P点的含义理解．
考向三 图表综合问题
图表综合问题主要分布于统计之中．解题时注意将图表中的信息综合在一起分析解答．
【例3】某市“希望”中学为了了解学生“大间操”的活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查(每人只能选一项)．调查结果的部分数据如下表(图)所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10.
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目
排球
篮球
跳绳
踢毽
其他
人数/人
7
8
14
6
八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
请根据统计表(图)解答下列问题：
(1)本次调查抽取了多少名学生？
(2)补全统计表和统计图，并求出“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比；
(3)该校共有学生1 800人，学校想对“最喜欢踢毽”的学生每4人提供一个毽子，那么学校在“大间操”时至少应提供多少个毽子？
分析：(1)因为三个年级都抽取了相同数量的学生，所以只需算出一个年级抽取的学生数即可；(2)根据(1)补充完整表格与统计图；(3)至少应提供的毽子个数＝该校学生总人数乘以最喜欢踢毽人数所占的比例再除以4.
解：(1)10÷20%＝50(人)，50×3＝150(人)．
(2)七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目
排球
篮球
跳绳
踢毽
其他
人数/人
7
8
15
14
6
八年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图
“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比为22%.
(3)×1 800÷4＝126(个)．
方法归纳 本题考查了统计图、统计表及根据样本估计总体，也是考查统计知识常见题型．解题时读懂图表并将图表信息综合考虑是关键.
一、选择题
1．某住宅小区6月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( )
A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨
2．(2011浙江台州)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点M，N，已知点M的坐标为(1,3)，点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程＝kx＋b的解为( )
A．－3,1 B．－3,3
C．－1,1 D．3，－1
二、填空题
3．上、下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为__________．
4．某村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：
第一年
第二年
第三年
…
应还款(万元)
3
0.5＋9×0.4%
0.5＋8.5×0.4%
…
剩余房款(万元)
9
8.5
8
…
若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款__________万元(n＞1)．
三、解答题
5．2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．
(1)求这份快餐中所含脂肪质量；
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
6．如图①，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为yA，yB，yC(单位：升)，时间为t(单位：分)．开始时，B容器内有水50升，yA，yC与t的函数图象如图②所示．请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：
图① 图②
(1)求t＝3时，yB的值；
(2)求yB与t的函数关系式，并在图②中画出其函数图象；
(3)求yA:yB:yC＝2:3:4时t的值．
7．某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1 000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)，求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其他成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1 700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9 801，982＝9 604,972＝9 409,962＝9 216,952＝9 025)
参考答案
专题提升演练
1．C 根据平均数公式可得这5天平均每天的用水量是＝32(吨)．
2．A 把M点的坐标代入y＝，求得m＝3，所以得y＝，再把y＝－1代入y＝求得x＝－3，故关于x的方程＝kx＋b的解为x＝－3，或1.
3．431.76 cm 由图可知，正六边形的对角线长为60 cm，则其半径为30 cm，边心距为15 cm，故所需胶带长度至少为15×12＋20×6≈431.76(cm)．
4．0.54－0.002n(填0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%)
关键是要理解付款的方式，第一年还掉3万元后，第二年付0.5万元和剩下的9万元的利息，第三年还0.5万元和剩下的(9－0.5)万元的利息，第四年则要还0.5万元和剩下的(9－2×0.5)万元的利息，…，所以除了第一年以外，第n年都是要还0.5万元和剩下的[9－(n－2)·0.5]万元的利息，可列式：0.5＋[9－(n－2)×0.5]×0.4%，化简可知第n年应还款(0.54－0.002n)万元．
5．解：(1)400×5%＝20(克)．
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．
(2)设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，
∴x＝44，∴4x＝176.
答：所含蛋白质的质量为176克．
(3)解法一：设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为(380－5y)克，∴4y＋(380－5y)≤400×85%，
∴y≥40，∴380－5y≤180，
∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．
解法二：设所含矿物质的质量为n克，则n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，
∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．
6．解：(1)当t＝3时，yB＝50＋4×3＝62(升)．
(2)根据题意，
当0≤t≤5时，
yB＝50＋4t.
当5＜t≤10时，
yB＝70－10(t－5)＝－10t＋120.
yB与t的函数图象如图所示．
图②
(3)根据题意，设yA＝2x，yB＝3x，yC＝4x.
2x＋3x＋4x＝50＋60＋70.解得x＝20.
∴yA＝2x＝40，yB＝3x＝60，yC＝4x＝80.
由图象可知，当yA＝40时，5≤t≤10，此时yB＝－10t＋120，yC＝10t＋20.
∴－10t＋120＝60，解得t＝6.
10t＋20＝80，解得t＝6.
∴当t＝6时，yA:yB:yC＝2:3:4.
7．解：(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630.
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1 000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1 000－50－30－20x－540)
＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋16x＋418
＝－2(x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)
∵－2＜0,1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1 000－50－30－y2)
＝(－0.1x＋2.9)(1 000－50－30－10x－630)
＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)
当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，
∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，
∴去年4月份销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
(3)去年12月份销售量为：－0.1×12＋2.9＝1.7(万件)，
今年原材料的价格为：750＋60＝810(元)，
今年人力成本为：50×(1＋20%)＝60(元)，
由题意，得5×[1 000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1 700，
设t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝，
∵972＝9 409,962＝9 216，而9 401更接近9 409，
∴≈97.
∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.
∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.
答：a的整数值为10.
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