教学设计_8年级上册
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
6.2 一次函数（1）
教学目标
1．能用适当的表示法刻画实际问题中的函数关系．
2．能结合具体情景理解一次函数和正比例函数的意义．
3．通过探索和讨论，体验函数是处理和解决实际问题的有力工具．
教学重点
理解一次函数和正比例函数的意义．
教学难点
一次函数、正比例函数的概念及关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题的引入
同学们，上节课，我们学习了函数，你能说说什么是函数吗？函数通常有哪几种表示方法吗？
口答：
一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量．
通常，表示函数关系可用三种方法：表格、图像和函数表达式．
利用传统的引入方式回顾旧知识做好前后有效的衔接．
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探索概念
情景一
给汽车加油的加油枪流量为25L/min．如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y（L）表示油箱中的油量，x（min）表示加油时间．
（1）y是x的函数吗？说说你的理由．
（2）y与x之间有怎样的函数表达式？
（3）如果加油前油箱里有6L油，y与x之间有怎样的函数表达式？
由上面的情境，我们得到了两个函数关系，前面我们也得到一些函数关系式，如：Q＝40－、
y＝100t、g＝h－105这些函数关系式有什么共同特点？
一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为y＝kx＋b （k、b为常数，且k≠0）的形式．那么称y是x的一次函数（linear function）．
特别地，当b＝0时，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．
在上面我们所讨论的一次函数y＝25x＋6、y＝25x、Q＝40－、y＝100t、g＝h－105哪些是正比例函数，哪些不是正比例函数；
同桌之间互写三个一次函数的表达式，并指出其中的k、b．
（1）因为对于变量 x （min）的每一个值，变量 y （L）都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数．
（2）y与x之间的函数关系为y＝25x．
（3）y与x之间的函数关系为y＝25x＋6．
这些表示y的代数式都是关于x的一次整式，都具有y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式．
合作完成．
用问题情景的分析得出一次函数的概念，并由特殊情况使得一次函数与正比例函数得到沟通，让学生感受正比例函数是一次函数的特例，为后续内容的学习研究带来方便．让学生自己写一次函数的表达式，并指出其中的k、b，通过这种形式加深学生对于概念的理解．
内化新知
用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系，并指出其中的一次函数、正比例函数．
（1）正方形面积S随边长x变化而变化；
解：（1）y与x之间的函数关系式为：y＝x2，因为含x项的次数为2，所以y不是x的一次函数；
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（2）正方形周长l随边长x变化而变化；
（3）长方形的长为常量a时，面积S随宽x变化而变化；
（4）高速列车以 300 km/h的速度驶离A站，列车行驶路程y （km）随行驶时间t （h）变化而变化；
（5）如图，A、B两地相距200 km，一列火车从B地出发以120 km/h的速度驶向C站，火车离A地的路程y （km） 随行驶时间t （h）变化而变化．
总结
通过上面的例子，我们发现，判断一个函数是否为一次函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；
判断一个函数是否为正比例函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx（k为常数，且k≠0）的形式．
（2）l与x之间的函数关系式为：l＝4x，所以l是x的一次函数，也是正比例函数；
（3）S与x之间的函数关系式为：S＝ax，因为a≠0，所以S是x的一次函数，也是正比例函数；
（4）这列火车离开A站的路程y （km）与行驶时间x （h）之间的函数关系式为：y＝300x，所以y是x的一次函数，也是正比例函数；
（5）这列火车离开A地的路程y （km）与行驶时间x （h）之间的函数关系式为：y＝120x＋200，所以y是x的一次函数，但不是正比例函数．
把概念性的学习置于具体的函数表达式中来体会通过例题由浅入深地推进，让学生对两个函数得到更进一步的认识，并给学生渗透方程思想．
巩固应用
1．水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水 t h后，水池中还有水 y m3．试写出 y 与 t 之间的函数表达式，并判断 y 是否为 t 的一次函数，是否为 t 的正比例函数．
2．一个长方形的长为15cm，宽为10cm．如果将长方形的长减少xcm，宽不变，那么长方形的面积y（cm2）与x（cm）之间有怎样的函数表达式？判断 y 是否为x的一次函数，是否为x 的正比例函数．
y＝－15t＋465（0≤t≤31），y是t的一次函数，但不是正比例函数．
y＝10（15－x）＝150－10x，y是x的一次函数，但不是正比例函数．
把课后的两个练习的顺序和题目都稍做了些改动，目的是能更好的突出本节课的重点和难点，考查学生的掌握请况．
总结
（1）通过本节课的学习：
①对自己说，你有哪些收获？
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识， 内化数学的方法和经验．
小结不仅可以帮助学生梳理知识、理清脉络，
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②对同学说，你有哪些温馨提示？
③对老师说，你有哪些困惑？
（2） 让我们一起回顾一下今天我们这节课的内容．
我们发现在实际生活中，存在着大量的函数关系，其中，有一类特殊的函数，它们具有y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；今天我们就研究了这类函数——一次函数，特别的当b＝0时，y＝kx，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．
而且还能够起到提升认识、内化认知结构的作用．老师、同学、自己三方融为一体进行知识梳理、答疑、解惑，很好的发挥了学生的主观能动性，有利于培养学生的反思能力、问题意识，但作为一个初学者，由于学生对新概念缺乏较全面、系统、深刻的认识和把握，所以小结不宜完全脱离教师的引导和归纳．
课后作业
本节课我们认识了一次函数，针对不同的情境如何求出一次函数的表达式呢？
预习新课．
感受数学在生活中的应用，增强应用数学的意识．
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