2.9 有理数的乘法
1．有理数乘法法则
(1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与零相乘，都得零．
(2)此法则是针对两个有理数相乘的情形，它包括两层意思：一是符号的确定法则，二是数字的处理法则，学习时注意以下几点：
①确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为0；
②数字处理是在符号确定后进行的，其方法与小学里一样．例如，(－3)×(－2)属于同号相乘，其积得正，然后把－3，－2的绝对值3和2相乘，得3×2＝6，即(－3)×(－2)＝6；又如，(－3)×2属于异号相乘，其积得负，然后把－3,2的绝对值3和2相乘，得－(3×2)＝－6，即(－3)×2＝－(3×2)＝－6.
(3)我们看出两个有理数相乘的结果是有规律可循的，规律主要体现在两个方面：①积的符号与两个因数的符号有关系；②积的绝对值与两个因数的绝对值有关系．
(4)有理数的乘法法则可有以下结论：
①如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负；
②如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负；
③如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0.
(5)有理数乘法法则的实质就是通过符号法则，转化为算术乘法的过程．例如(－3)×(－4)根据符号法则积为正数，所以(－3)×(－4)转化为3×4来运算；再如(－3)×4根据符号法则积为负数，所以(－3)×4也转化成－(3×4)来运算，其中的“－”号是积的符号．
【例1】 计算：(1)×；
(2)×；
(3)×；
(4)×0；
(5)0×；
(6)×.
分析：(1)和(6)是同号两数相乘，得正数；(2)和(3)是异号两数相乘，得负数；(4)和(5)是一个数与0相乘，得0.
解：(1)×＝×＝；
(2)×＝－＝－；
(3)×＝－＝－；
(4)×0＝0；
(5)0×＝0；
(6)×＝×＝.
解技巧 进行有理数乘法运算的关键 两个有理数相乘，一要
确定积的正负号，二要确定积的绝对值，另外任何数与0相乘，都得0.
2．有理数乘法的运算律
小学里学过的乘法的运算律对有理数的乘法仍然适用．
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
乘法交换律可用字母简单表示为：ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
乘法结合律可以用字母简单表示为：(ab)c＝a(bc)．
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
(3)乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
乘法分配律用字母可简单表示为：a(b＋c)＝ab＋ac.
对于两个以上的数相加的情形仍然成立，即a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad.
乘法运算律是用来简化有理数乘法运算的依据，其中乘法交换律和乘法结合律要注意灵活、综合地运用，两者相得益彰，不能分开．
运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算．
应用乘法分配律可以打破“先算括号”的计算习惯，大大简化乘法与加法的运算．
警误区 运用乘法运算律改变负因数的位置时要注意的问题 利用运算律改变负因数的位置时，必须将负因数放在括号中．例如－×(2 000＋8)＝×2 000＋×8.
【例2】 计算：(1)(－12)×(－37)×；
(2)6×(－10)×0.1×；
(3)－30×；
(4)4.99×(－12)．
分析：(1)(2)应用乘法的交换律、结合律；(3)应用乘法分配律；(4)4.99写成5－0.01，再应用乘法分配律．
解：(1)(－12)×(－37)×
＝(12×37)×
＝×37＝10×37＝370；
(2)6×(－10)×0.1×
＝－(6×10)×0.1×
＝－×(10×0.1)
＝－2×1＝－2；
(3)－30×
＝(－30)×－(－30)×＋(－30)×
＝－15＋20－24＝－19；
(4)4.99×(－12)＝(5－0.01)×(－12)
＝5×(－12)－0.01×(－12)
＝－60＋0.12＝－59.88.
解技巧 应用乘法运算律时要注意符号问题 应用乘法的交换律、结合
律解题时一定要先确定结果的符号，运算时忽略符号；而应用分配律解题时，符号必须参与运算．
3．多个有理数相乘的符号法则
(1)有一个因数为0，则积为0；
(2)几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
此法则是乘法法则的推广，它告诉我们进行多个有理数相乘运算时，首先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘．如(－3)×(－2)×(－5)＝－(3×2×5)＝－30；又如，(－3)×(－2)×5＝3×2×5＝30.
多个有理数相乘也可以根据需要任意交换因数的位置，从而使运算简化．
解技巧 多个有理数相乘的计算方法 多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，就要计算绝对值的积作为积的绝对值．
【例3】 计算：
(1)×××；
(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；
(3)－1×(＋4.5)××.
分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)在有理数的乘法运算中，往往把小数化为分数，带分数化为假分数，便于约分．
解：(1)×××
＝－(约分)
＝－7；
(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.
(3)－1×(＋4.5)××(几个不等于0的有理数相乘)
＝－×××(带分数化成假分数，小数化为分数，便于约分化简)
＝－×××(当负因数的个数为奇数时，积为负，并把绝对值相乘)
＝－6.
警误区 进行多个有理数相乘时要注意因数中是否有0 以后遇到多个数相乘时，特别注意有一个因数是0的情况，要先把题目看清，不要一上来就急着做，否则，将白辛苦了．
4．有理数的乘法运算
(1)进行有理数乘法运算时要牢记法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同0相乘，都得0.
两个有理数相乘的关键是确定符号(同号得正，异号得负，有0得0)．
③几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
④几个数相乘，如果其中有任何一个因数为0，则积等于0.
多个有理数相乘，确定符号也很重要(数负因数的个数，奇数个得负，偶数个得正，有0得0)．
(2)有理数乘法可与绝对值、有理数的加减法及其他知识综合在一起进行考查，当有理数乘法与绝对值综合在一起考查时要注意分析解的情况．
【例4－1】 完成下列各题：
(1)绝对值不大于5的所有负整数之积为__________；
(2)绝对值不大于10的所有整数之积为__________；
(3)若|m|＝3，|n|＝6，则|m×n|＝__________.
解析：本题考查有理数的乘法与有理数的有关概念．
这三个小题有一个共同特点，都是求一些数的积．解决本题的关键是根据题意确定因数的情况，尤其要正确理解“不大于”、“负整数”等条件的意义．
答案：(1)－120 (2)0 (3)18
【例4－2】 若a×b＝|a×b|，必有( )．
A．a×b不小于0 B．a，b符号不同
C．a×b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：选项B显然不正确；选项C和选项D虽然都能使a×b＝|a×b|成立，但a×b＝|a×b|成立时，选项C和选项D未必成立，所以选项C和选项D都不正确．
答案：A
5.应用有理数乘法运算律进行简化计算
利用有理数的乘法运算律可以解决一些看似复杂的计算题，其基本的方法是根据数字的特点，正确选用运算律，有时需要将数字变形为能够运用分配律的形式，从而使运算简便．
运用运算律可使运算简便，例如，21×(－8)，从题型结构来看，直接计算比较麻烦，又不具备应用分配律的条件，但观察它的数量特点，使用拆分法，可以创造应用分配律的解题条件，即将21拆分成一个整数与一个分数之差，再用分配律计算．
乘法分配律揭示了加法和乘法的运算性质，利用它可以简化有理数的运算，对于乘法分配律，不仅要会正向应用，即a(b＋c)＝ab＋ac，而且要会逆向应用，即ab＋ac＝a(b＋c)．有时还要构造条件变形后再用，以求简便，迅速，准确地解答习题．
析规律 乘法分配律的逆用 在运用乘法分配律时，要注意公式a(b＋c)＝ab＋ac是一个恒等式，故从左到右成立，那么从右到左同样也成立，要学会乘法分配律的灵活应用．
【例5】 用简便方法计算：
(1)×(－12)；
(2)999×998；
(3)－5×＋13×－3×.
分析：(1)可直接应用乘法分配律计算；
(2)可先将999写成1 000－的形式，再应用乘法分配律计算；
(3)可逆用乘法对加法的分配律运算．
解：(1)×(－12)
＝(－12)×－(－12)×＋(－12)×＋(－12)×
＝－3＋10－4－18＝－15；
(2)999×998
＝×998
＝1 000×998－×998
＝998 000－1＝997 999；
(3)－5×＋13×－3×
＝(－5＋13－3)×
＝5×＝－11.
6．有理数乘法的实际应用
有理数乘法在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．尤其是运算律在现实生活中的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的乘法运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．
解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．
解题时一定要根据乘法的意义，正确地列出算式，求解时，先进行符号的运算，再进行绝对值的运算．
【例6】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答．
解：60×
＝60×1－60×－60×－60×
＝60－30－20－15＝－5.
答：不够借，还缺5个篮球．
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