第3讲 分式
考纲要求
命题趋势
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式.
知识梳理
一、分式
1．分式的概念
形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的“三个条件”
(1)分式无意义的条件是B＝0；
(2)分式有意义的条件是B≠0；
(3)分式值为零的条件是A＝0且B≠0.
二、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个__________的整式，分式的值不变．用式子表示是：
＝，＝(其中M是不等于0的整式)．
三、分式的约分与通分
1．约分
根据分式的基本性质将分子、分母中的________约去，叫做分式的约分．
2．通分
根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__________的分式，这种变形叫分式的通分．
四、分式的运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是______分式或整式．
自主测试
1．下列式子是分式的是( )
A． B． C．＋y D．
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A．扩大3倍 B．缩小3倍
C．扩大9倍 D．不变
3．当分式的值为0时，x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
4．化简：(1)＝__________.
(2)＋＝__________.
考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件
【例1】若的值为零，则x的值是( )
A．±1 B．1 C．－1 D．不存在
解析：当分式的分子是零且分母不是零时，分式值为零，当|x|－1＝0时，x＝±1，而x＝1时，分母x2＋2x－3＝0，分式无意义，所以x＝－1.
答案：C
方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
触类旁通1 若分式无意义，则当－＝0时，m＝__________.
考点二、分式的基本性质
【例2】不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )
A． B． C． D．
解析：因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
答案：C
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
触类旁通2 下列运算正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
考点三、分式的约分与通分
【例3】化简：＝__________.
解析：＝＝.
答案：
方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．
触类旁通3 分式，，的最简公分母为( )
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) D．a2－b2
考点四、分式的运算
【例4】(1)化简：＋.
(2)先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
解：(1)原式＝＝＝＝2；
(2)÷
＝÷
＝·＝x－2.
当x＝－1时，原式＝－1－2＝－3.
方法总结 在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
1．(2012湖北宜昌)若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
2．(2012河北)化简÷的结果是( )
A．. B． C． D．2(x＋1)
3．(2012浙江杭州)化简得__________；当m＝－1时，原式的值为__________．
4．(2012江西南昌)化简：÷.
5．(2012浙江衢州)先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．
1．化简÷(m＋2)的结果是( )
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2
2．下列等式中，不成立的是( )
A．＝x－y B．＝x－y
C．＝ D．－＝
3．已知－＝，则的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
4．当x＝__________时，分式的值为零．
5．化简－的结果是__________．
6．计算：·(x－3)＝__________.
7．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＋＝__________.
8．先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－1.
(2)÷，其中x＝－3.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B B项分母中含有字母．
2．A 因为x和y都扩大3倍，则2xy扩大9倍，x＋y扩大3倍，所以扩大3倍．
3．B 由题意得x－1＝0且x＋2≠0，解得x＝1.
4．(1)x＋3 (2)1 (1)原式＝＝x＋3；(2)原式＝－＝＝1.
探究考点方法
触类旁通1． 因为由无意义，可得x－1＝0，所以x＝1，由－＝0，得－＝0，
即＝，所以5(2m－1)＝3m－2.
解得m＝.当m＝时，(3m－2)·(2m－1)≠0，
故所求m的值为.
触类旁通2．C 因为＝＝，＝＝，＝－＝－＝－，故选C.
触类旁通3．D 因为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，b－a＝－(a－b)，所以最简公分母为(a＋b)(a－b)，即a2－b2.
品鉴经典考题
1．C 因为分式有意义，则a＋1≠0，所以a≠－1.
2．C 原式＝·(x－1)＝.
3． 1 原式＝＝.当m＝－1时，原式＝＝1.
4．解：原式＝÷＝·＝－1.
5．解：＋＝＝x＋1.
当x＝0时，原式＝1.(除x＝1外的任何实数都可以)
研习预测试题
1．B 原式＝·＝·＝1.
2．A ＝＝x＋y.
3．D 因为－＝，所以＝，所以ab＝－2(a－b)，所以＝＝－2.
4．2 由题意得x－2＝0且x＋2≠0，解得x＝2.
5． 原式＝－＝＝＝＝.
6． 原式＝1－＝－＝＝＝＝.
7．－6 ＋＝＝＝＝－6.
8．解：(1)÷＝·＝.当a＝－1时，原式＝＝＝.
(2)÷＝÷
＝÷＝·
＝.∵x＝－3，∴原式＝＝.
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