第8讲 一元二次方程
考纲要求
命题趋势
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的解法．
3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
4．会列一元二次方程解决实际问题.
结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.
知识梳理
一、一元二次方程的概念
1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，x＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2．(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
四、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．
自主测试
1．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( )
A．200(1＋a%)2＝148 B．200(1－a%)2＝148
C．200(1－2a%)＝148 D．200(1－a2%)＝148
4．已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__________.
5．解方程：x2＋3＝3(x＋1)．
考点一、一元二次方程的有关概念
【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．故选C.
答案：C
方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.
触类旁通1 已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A．－2 B．2 C．5 D．6
考点二、一元二次方程的解法
【例2】解方程x2－4x＋1＝0.
分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．
解：解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±，x1＝2＋，x2＝2－.
解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x＝＝2±.
方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．
触类旁通2 解方程：x2＋3x＋1＝0.
考点三、一元二次方程根的判别式的应用
【例3】关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8 C．4± D．0或8
解析：b2－4ac＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.
答案：D
方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．
触类旁通3 已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是( )
A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0
C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0
考点四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤.
(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
以下分两种情况讨论：
①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，
即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤，
∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．
②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，
即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.
解法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．
由(1)可知k≤，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.
∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．
触类旁通4 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A．4 B．3 C．－4 D．－3
考点五、用一元二次方程解实际问题
【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.
答：2011年的年产量为12.5万辆．
方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．
触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
1．(2012河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
2．(2012江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )
A．1 B．－1 C． D．－
3．(2012湖南株洲)已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为( )
A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2
C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－2
4．(2012四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121
C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝121
5．(2012贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．
6．(2012浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是( )
A．m≠2 B．m≠±2
C．m≠ D．m≠±
2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9
3．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞2
C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
4．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
5．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．
6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．
7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则＋的值是__________．
8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 因为根的判别式b2－4ac＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
2．C 把x＝2代入方程，得c＝4.
3．B 降价a%一次售价为200(1－a%)元，降价a%两次售价为200(1－a%)(1－a%)元，即200(1－a%)2元．
4． 因为a＝2，b＝－3，所以x1＋x2＝－＝.
5．解：原方程可化为x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
探究考点方法
触类旁通1．B 把3代入原方程得c＝6，解原方程得另一个根是2.
触类旁通2．解：∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝.
∴x1＝，x2＝.
触类旁通3．D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n2－4mk≥0.
触类旁通4．B 因为a＝1，c＝3，所以x1x2＝＝3.
触类旁通5．解：(1)2x 50－x
(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．
∴x＝20.
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
品鉴经典考题
1．A 原方程变为x2＋4x＋4－4＋1＝0，
所以(x＋2)2＝3.
2．B 因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a)＝0，
所以a＝－1.
3．D b＝x1＋x2＝1－2＝－1，c＝x1x2＝－2.
4．C 因为每次提价的百分率都是x，则两次提价后价格是原价的(1＋x)2，所以列方程为100(1＋x)2＝121.
5．3或－1 解方程：x2－2x＋1＝4，
∴(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，
则(40－2x)2＝484，
即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.
∴剪掉的正方形的边长为9 cm.
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，
∴当x＝10时，y最大＝800.
即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.
(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，
从而有2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.
∴剪掉的正方形的边长为15 cm.
此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.
研习预测试题
1．D 由题意知，m2－2≠0，得m≠±.
2．C 因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，
所以(x－1)2＝6.
3．C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a－1)＞0，且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.
4．A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p＜0，所以p＞0；两根之积为正，即q＞0.
5．± 因为把x＝2代入原方程得a2＝7，
所以a＝±.
6．2 因为a＝1，＝x1x2＝2，所以c＝2.
7．－ 因为a＋b＝6，ab＝－5，
所以＋＝＝＝－.
8．解：提取公因式，得(x－2)(x＋1)＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意，得5(1－x)2＝3.2.
解方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，
方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．
∵14 400＜15 000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
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