2013版中考总复习数学专题讲练专题四_归纳与猜想(含解析).doc

专题四　归纳与猜想 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．‎ 考向一　数字规律问题 数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．‎ ‎【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.‎ ‎1　2　3　4　 3　2　 1‎ ‎ 2 3 4 5 4 3 2‎ ‎ 3 4 5 6 5 4 3‎ ‎ 4 5 6 7 6 5 4‎ ‎ 5 6 7 8 7 6 5‎ ‎ 6 7 8 9 8 7 6‎ ‎ 7 8 9 10 9 8 7‎ 则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.‎ ‎(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.‎ 解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，‎ a52＝6，a53＝7，‎ 所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.‎ 对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．‎ 根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.‎ 答案：(1)0　(2)0‎ 方法归纳 解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．‎ 考向二　数式规律问题 解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．‎ ‎【例2】给出下列命题：‎ 命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；‎ 命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；‎ 命题3：直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是；‎ 命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；‎ ‎……‎ ‎(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；‎ ‎(2)请验证你猜想的命题n是真命题．‎ 解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；‎ ‎(2)将代入直线y＝n3x得：右边＝n3×＝n2，左边＝n2，‎ ‎∴左边＝右边．∴点在直线y＝n3x上．‎ 同理可证：点在双曲线y＝上，‎ ‎∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.‎ 方法归纳 此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．‎ 对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．‎ 考向三　数形规律问题 根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．‎ ‎【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．‎ 解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，‎ 所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．‎ 答案：n(n＋1)‎ 方法归纳 解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．‎ 一、选择题 ‎1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2 011等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为(　　)‎ A．52 010 B．52 011 C．52 009 D．54 020‎ 二、填空题 ‎3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．‎ ‎4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．‎ ‎5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2 012的坐标为__________．‎ 三、解答题 ‎6．观察下列算式：‎ ‎①1×3－22＝3－4＝－1‎ ‎②2×4－32＝8－9＝－1‎ ‎③3×5－42＝15－16＝－1‎ ‎④__________________________‎ ‎……‎ ‎(1)请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来；‎ ‎(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ ‎7．观察图形，解答问题：‎ ‎(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 三个角上 三个数的积 ‎1×(－1)×‎ ‎2＝－1‎ ‎(－3)×(－4)×‎ ‎(－5)＝－60‎ 三个角上 三个数的和 ‎1＋(－1)＋‎ ‎2＝2‎ ‎(－3)＋(－4)＋‎ ‎(－5)＝－12‎ 积与和的商 ‎－2÷2＝－1‎ ‎(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.‎ ‎8．(1)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．‎ 图1‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2＝__________.‎ ‎(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．‎ 参考答案 专题提升演练 ‎1．B　可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，Kn－1Kn的半径为n，所以l2 011＝＝.‎ ‎2．D　由题意知，OA＝1，OD＝2，DA＝，∴AB＝AD＝，利用互余关系证得△DOA∽△ABA1，∴＝，∴BA1＝AB＝，∴A1B1＝A1C＝AB＝，同理，A2B2＝A1B1＝2，一般地AnBn＝n，第2 011个正方形的面积为(A2 010B2 010)2＝54 020，故选D.‎ ‎3．3n－2　思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n个数是1＋3×(n－1)，即3n－2.‎ 思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n个数是3n－2.‎ ‎4．　因为A1，B1分别是EF，FD的中点，所以A1B1＝ED.因为正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积:正六角星形AFBDCE的面积＝2＝.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积:正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝2＝，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积＝×＝2.如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积等于4＝.‎ ‎5．(2,1 006)‎ ‎6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；‎ ‎(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；‎ ‎(3)一定成立．理由：‎ 因为n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立．‎ ‎7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5，‎ 图③：(－2)×(－5)×17＝170，‎ ‎(－2)＋(－5)＋17＝17，‎ ‎170÷10＝17.‎ ‎(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360，‎ ‎5＋(－8)＋(－9)＝－1，‎ y＝360÷(－12)＝－30，‎ 图⑤：＝－3，解得x＝－2.‎ ‎8．解：(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，‎ ‎∴3x＝2，解得x＝.‎ ‎∴S正方形PNMQ＝2＝.‎ 又∵1＞，‎ ‎∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．‎ ‎(2)S2＝.‎ ‎(3)S10＝.‎ 解法1：探索规律可知：Sn＝.‎ 剩余三角形的面积和为2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－＝.‎ 解法2：由题意可知，‎ 第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1.‎ 第2次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－＝＝S2.‎ 第3次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝－＝＝S3.‎ ‎…‎ 第10次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝.‎