2.10 有理数的除法
1．倒数
(1)倒数的意义
在有理数范围内，倒数的意义与小学里学习的倒数的意义是相同的，即乘积为1的两个有理数互为倒数．用字母表示为a×＝1(a≠0)，也就是说，a(a≠0)的倒数是.例如(－5)×＝1，因此－5是－的倒数，－是－5的倒数．
(2)倒数的求法
①求一个整数的倒数时，直接写成以这个数为分母、1为分子的分数即可．如－3的倒数是－；
②求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可．如－的倒数是－；若求小数的倒数，先将小数化成分数再求，如求0.5的倒数，由0.5＝，的倒数是2，则0.5的倒数是2；
③0没有倒数．
谈重点 与倒数相关的知识 ①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；②互为倒数的两个数一定是同号；③倒数等于它本身的数只有1和－1.
【例1】 (1)－|－2|的倒数是( )．
A．2 B． C．－ D．－2
(2)－0.5的倒数是( )．
A．－ B． C．－2 D．2
(3)若2与a互为倒数，则下列结论正确的是( )．
A．a＝ B．a＝－2 C．a＝－ D．a＝2
解析：解决倒数问题首先要理解倒数的概念：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．(1)要计算－|－2|的倒数，首先要计算出－|－2|＝－2，然后再确定其倒数；(2)通常把小数化为分数，然后再将分数的分子、分母颠倒位置；(3)根据倒数的概念可以计算出a的值．
答案：(1)C (2)C (3)A
2．有理数的除法法则
(1)有理数的除法法则．
①除以一个不为零的有理数，等于乘以这个数的倒数．
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.(注意：0不能作除数)
(2)要选择适当的方法进行有理数的除法．
对于整数除以一个不为零的整数时，可以先确定商的符号(两数相除，同号得正，异号得负)，再把绝对值相除得商的绝对值．
当除数是分数(带分数要化为假分数)时，应把除法转化为乘法(除以一个不为零的有理数，等于乘以这个数的倒数)，这样比较简单．当除法算式中有小数时，应把小数化为分数，再把除法转化为乘法．
(3)0不能作除数．
我们知道，“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”
用除法，也就是说，除法是乘法的逆运算．因为0乘以任何数都得0，所以任何数除以0都没有意义，即0不能作除数．
谈重点 有理数除法运算的步骤 先确定商的符号，再计算商的绝对值．如果两个有理数能够整除，一般直接根据有理数除法的法则确定符号后求商；如果两个有理数不能整除，一般把除法转化为乘法再运算．
【例2】 计算：(1)(－12)÷(－3)；
(2)(－42)÷(－6)；
(3)(－0.1)÷10；
(4)÷(＋5)；
(5)0÷(－5)÷100.
分析：先确定商的符号，再计算绝对值．(1)(2)是同号两数相除，结果为正；(3)(4)是异号两数相除，结果为负；(5)0除以任何非0的数，都得0.
解：(1)(－12)÷(－3)＝4；
(2)(－42)÷(－6)＝7；
(3)(－0.1)÷10＝－0.01；
(4)÷(＋5)＝－5；
(5)0÷(－5)÷100＝0.
3．有理数除法运算中的易错题
有理数的除法运算中经常会出现这样的错误：
(1)运算顺序出错
有理数的乘除混合运算属于同级运算，应当按照运算顺序，从左向右依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法，一起约分即可；
(2)误用“除法分配律”
乘法分配律推广到除法运算，是有条件的：当被除数是和差形式时，可以把除数分配给“和”中的每一个数；当除数是和差形式时，就不能把被除数分配给“和”中的每一个数．
【例3】 计算：(1)(－29)÷3×；
(2)15÷.
分析：(1)把除法运算转化为乘法运算，然后计算即可．本题易错解为：原式＝(－29)÷1＝－29，错解的原因是乘除混合运算出现运算顺序错误；(2)先算括号里面的，再算除法运算．本题易错解为：原式＝15÷－15÷＝15×3－15×5＝45－75＝－30，错解原因是因为把被除数分配给除数中的每一个数而造成的．
解：(1)(－29)÷3×
＝(－29)××
＝－×＝－＝－3；
(2)15÷
＝15÷
＝15÷＝15×＝＝112.
4．有理数的本质
我们知道，整数和分数统称有理数．整数和分数都可以化为两个整数之商．
(1)任何整数都是它除以1所得的商，如5＝5÷1，－12＝(－12)÷1＝12÷(－1)．
(2)任何正分数都是它的分子除以分母的商，如＝2÷3,4＝＝13÷3，任何负分数的负号可以搬到分子或分母上，从而把它看成两个整数(其中一个是负整数)的商，如－＝(－7)÷8＝7÷(－8)．
由此可知，有理数是可以表示为两个整数之商的数．
【例4】 将下列有理数写成整数之商：
(1)－5；(2)3.6；(3)4.5.
分析：(1)－5是一个负的带分数，先将其化为假分数，再把负号搬到分子(或分母)上，即可知道它是哪两个整数之商；(2)3.6是一个小数，将其化为分数后，即可知道它是哪两个整数之商；(3)先将4.5化成分数，即可知道它是哪两个整数之商．
解：(1)－5＝－＝＝(－23)÷4；
(2)3.6＝3＝＝18÷5.
(3)4.5＝4＝＝9÷2.
5．求一个数的倒数的方法
(1)用1除以这个数．例如求0.2的倒数，就用1除以0.2得5，所以0.2的倒数是5.
(2)把数改写成分数，再把分子与分母颠倒位置．
①求整数的倒数，直接把整数作分母，分子是1；
②求真、假分数的倒数，直接把分子与分母颠倒位置；
③求带分数的倒数，先把带分数化为假分数，再把分子分母颠倒位置，如求7的倒数，先化为，其倒数为；
④求小数的倒数，先把小数化为分数，再把分子分母颠倒位置．
(3)特别地，分子是1的真分数的倒数是这个分数的分母，即正整数．
谈重点 有理数有倒数的条件 一个有理数有倒数的条件是这个有理数不等于0.例如a的倒数是的条件是a不为0.所以－a(a≠0)的倒数是－，－(p≠0，q≠0)的倒数是－.
【例5】 填空：
(1)__________的倒数是－0.125；
(2)－3的倒数是__________；
(3)0.2的倒数的相反数是__________；
(4)－4的负倒数是__________；
(5)－2.5×＝1，则“”中应填的数是__________．
解析：(1)求－0.125的倒数，就要先把－0.125化成分数，即－0.125＝－，所以其倒数是－8；
(2)求－3的倒数，要把带分数化为假分数，即－3＝－，所以其倒数是－；
(3)求0.2的倒数的相反数，就要把0.2化为，其倒数是5,5的相反数是－5；
(4)求－4的负倒数，就要把－4化为－，其倒数的相反数就是；
(5)实质是求－2.5的倒数，就是－.
答案：(1)－8 (2)－ (3)－5 (4) (5)－
6.有理数除法的应用
有理数的除法在现实生活中有着广泛的应用，解题时可以忽略符号，只考虑数的实际意义，最后再去处理符号问题．
解题时还要检验结果是否符合实际意义．
【例6】 一只青蛙在10米深的井底，它每小时往上爬1米后，在下一小时里要下滑0.6米，问这只青蛙几小时才能爬到地面上来？
分析：由已知条件知，青蛙每两个小时爬上1－0.6＝0.4米，10米里面有25个0.4米，所以经过了50个小时青蛙爬上了地面，但是实际在经过了49小时，青蛙没有下滑时已经上来了．
解：10÷(1－0.6)×2＝50(小时),50－1＝49(小时)．
答：这只青蛙49小时才能爬到地面上来．
7．有理数的除法转化为乘法的运算
(1)除以一个非零有理数等于乘以这个数的倒数．用数学式子表示为a÷b＝a×＝(b≠0)．
(2)有理数的除法转化为乘法的运算步骤：
①确定商的符号；②把除法变为乘法；③把除数变为它的倒数．
(3)几个非0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．类似地，几个非0的有理数相除，商的符号也由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．
(4)如果两个有理数能够整除，就用除法法则运算；如果两个数不能整除，就把除法转化为乘法运算．
(5)特别地，只要是乘除混合运算就把除法转化为乘法，确定符号后再应用乘法法则运算．
(6)转化后利用乘法的运算律简化运算．除法运算转化为乘法运算后，运算律可以使运算简单，因此在解题中要细心观察．在混合运算中要严格按照运算顺序计算．
【例7】 计算：
(1)(－81)÷3÷(－2.25)÷；
(2)－2÷1.125×(－8)；
(3)÷.
分析：(1)有理数的除法法则对有理数的连除运算仍然适应．运算时，要注意把每一个除数都转化为它的倒数，都与被除数相乘．同时要把小数化为分数，把带分数化为假分数，便于约分；(2)对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分；(3)若先算括号里面的，再算除法运算比较复杂，如果先将除法运算转化为乘法运算然后利用乘法分配律，会大大简化计算．注意带分数要化成假分数．
解：(1)原式＝－81÷÷÷
＝－81×××
＝－1；
(2)原式＝÷×8
＝××8＝16；
(3)原式＝×
＝×－×－×
＝(－6)＋3＋2
＝－1.
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