第12讲 二次函数
考纲要求
命题趋势
1．理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．
二、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最______值
当x＝－时，y有最______值
三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
自主测试
1．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
2．如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2－4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
3．当m＝__________时，函数y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函数．
4．将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________．
5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________.
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8)
C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－＝－＝－1，
＝＝8，
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∴y1＞y3.∴y1＞y2.
答案：(1)A (2)＞
方法总结 1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
触类旁通1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通2 小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通3 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.
∴△AOD≌△BEC.
∴OA＝EB＝EA.
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m2＋()2＝(2m)2，解得m＝1.
∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.
∴A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，)．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋，代入A的坐标(1,0)，得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋.
解法二：设这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，)三点，
得解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．
触类旁通4 已知抛物线y＝－x2＋(6－)x＋m－3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y轴对称．
(1)求m的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
考点五、二次函数的实际应用
【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
解：(1)当x＝60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．
(2)前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．
后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100－x)万元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1 065，表明x＝30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．
(3)有极大的实施价值．
方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤11)．
(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；
(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．
1．(2012四川乐山)二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2
C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
2．(2012山东菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'
3．(2012上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
4．(2012山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．
(第4题图)
5．(2012广东珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.
(第5题图)
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
6．(2012湖南益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)
1．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )
A．(3，－4) B．(3,4)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
2．由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
4．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
(第4题图)
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
5．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1,0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC长为__________．
(第5题图)
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．
8．2011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C
2．D ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0；与y轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c＜1，∴(2)错；
∵－＞－1，∴＜1，∵a＜0，∴2a＜b，∴2a－b＜0；
当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故选D.
3．－3 由题意，得m2－7＝2且m－3≠0，解得m＝－3.
4．y＝x2＋1
5．y＝－x2＋2x＋1(答案不唯一)
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．C ∵抛物线开口向上，∴a＞0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0；
对称轴在y轴右侧，a，b异号，故b＜0，∴abc＞0.
由题图知当x＝－1时，y＞0，
即a－b＋c＞0.对称轴是直线x＝，
∴－＝，即2a＋3b＝0；
由得c－b＞0.
又∵b＜0，∴c－4b＞0.∴正确的结论有4个．
触类旁通3．A 因为将二次函数y＝x2向右平移1个单位，得y＝(x－1)2，再向上平移2个单位后，得y＝(x－1)2＋2，故选A.
触类旁通4．解：(1)∵抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，∴抛物线的对称轴即为y轴．
∴－＝0.∴m＝±6.
又∵抛物线开口向下，∴m－3＞0，即m＞3.∴m＝6.
(2)∵m＝6，
∴抛物线的关系式为y＝－x2＋3，顶点坐标为(0,3)．
触类旁通5．解：(1)(10＋7x) (12＋6x)
(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.
(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，
∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.
∵－2＜0,0＜x≤11，
∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
品鉴经典考题
1．B ∵二次函数y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限，
且经过点(－1,0)，
∴a－b＋1＝0，a＜0，b＞0.
由a＝b－1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，∴0＜b＜1①；
由b＝a＋1＞0得到a＞－1，结合上面a＜0，
∴－1＜a＜0②.
∴由①②得－1＜a＋b＜1，且c＝1，
得到0＜a＋b＋1＜2，
∴0＜t＜2.
2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a＜0.
∵对称轴x＝－＜0，∴b＜0.
∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0.
∴一次函数y＝bx＋c过第二、四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二、四象限，故选C.
3．y＝x2＋x－2 因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y＝x2＋x－2.
4．－1＜x＜3 因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y＜0时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
5．解：(1)由题意，得
(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，∴y＝(x－2)2－1.
当x＝0时，y＝(0－2)2－1＝3，∴C(0,3)．
∵点B与C关于直线x＝2对称，∴B(4,3)．
于是有解得
∴y＝x－1.
(2)x的取值范围是1≤x≤4.
6．解：(1)∵P与P′(1,3)关于x轴对称，
∴P点坐标为(1，－3)．
∵抛物线y＝a(x－1)2＋c过点A(1－，0)，顶点是P(1，－3)，∴解得
则抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.
(2)∵CD平行于x轴，P′(1,3)在CD上，
∴C，D两点纵坐标为3，
由(x－1)2－3＝3，得x1＝1－，x2＝1＋，
∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，
∴CD＝2，
∴“W”图案的高与宽(CD)的比＝＝(或约等于0.612 4)．
研习预测试题
1．A 2．C
3．D 由题意，得22－4(k－3)≥0，且k－3≠0，解得k≤4且k≠3，故选D.
4．A
5．3 ∵把A(－1,0)，B(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c得解得∴y＝x2－x－2，解x2－x－2＝0得x1＝－1，x2＝2，∴C点坐标为(2,0)，∴AC＝3.
6．①③④ 由图表可知当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴是直线x＝，③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x＝，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④正确；当x＝时，y取得最大值，②错误．
7．y＝－x2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x＝1，
所以－＝1，即b＝2.把点(3,0)代入y＝－x2＋2x＋c，得c＝3.故原图象的解析式为y＝－x2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝－(x－1＋2)2＋4－3，即y＝－x2－2x.
8．解：(1)由题意，得5k＝2，∴k＝，∴y1＝x；
∴∴y2＝－x2＋x.
(2)设该农户投资t万元购Ⅱ型设备，投资(10－t)万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q万元．
∴y1＝(10－t)＝4－t，y2＝－t2＋t.
∴Q＝y1＋y2＝4－t－t2＋t＝－t2＋t＋4＝－(t－3)2＋.∴当t＝3时，Q最大＝.∴10－t＝7.
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．
9．解：(1)二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标(2，－1)．
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2；
都经过A(1,0)，B(3,0)两点．
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，
∴kx2－4kx＋3k＝8k，
∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.
∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．
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