1.1 正数和负数
1.相反意义的量
(1)生活中存在大量具有相反意义的量
生活中,有许许多多具有相反意义的词语,例如向东和向西、西北和东南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和亏本、买进和卖出等.生活中存在着数不清的具有相反意义的量,如前进3 m与后退5 m,收入300元与支出80元等.
(2)具有相反意义的量的特点
①具有相反意义的量是成对出现的,单独一个量不能成为相反意义的量;
②与一个量成相反意义的量不止一个,如与上升2 m成相反意义的量就很多,如:下降1 m,下降0.2 m等;
③相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义相反;二是它们都具有数量.如前进8 m与前进5 m,上升与下降都不是相反意义的量,因为前者意义不相反,后者缺少数量;
④相反意义的量中的两个量必须是同类量,如节约汽油3吨与浪费1吨水就不是具有相反意义的量.
(3)应用方法
相反意义的量可用正数和负数表示.至于哪一种量为正,可以自由确定,当已知一个量用正数表示时,与其相反意义的量就用负数表示,反之亦然.习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正,而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负.
谈重点 对相反意义的量的理解
表示相反意义的量必须具有相反的意义,且数量必须带单位.表示相反意义的量的数值可以不同.
【例1-1】 添上恰当的词,使前后构成具有相反意义的量.
(1)库存增加1 000千克与________500千克;
(2)商店买进50支铅笔与________20支铅笔;
(3)股票上涨a元与__________b元.
解析:所填的词必须使前后的量具有相反的意义.增加与减少、买进与卖出、上涨与下跌分别具有相反的意义.
答案:减少 卖出 下跌
【例1-2】 (1)如果零上3 ℃记为+3 ℃,那么-8 ℃表示的意义是__________;
(2)如果下降3米记为-3米,那么上升5米应记为__________;
(3)如果前进5千米,记为+5千米,那么后退6千米应记为__________;
(4)支出10元人民币记账为-10元,那么+20元表示的意义是__________;
(5)某仓库运出货物20千克记为-20千克,那么运进35千克货物应记为__________.
解析:(1)零上3 ℃记作+3 ℃,即“+”号表示“零上”,那么与它相反意义的量“零下”就记作“-”;
(2)本小题的“-”号表示“下降”,因此,“上升”应记为“+”,也就是说,具有相反意义的两个量,把其中的一个规定为正时,那么另一个即为负;
(3)~(5)小题类似.
答案:(1)零下8 ℃ (2)+5米 (3)-6千米 (4)收入20元人民币 (5)+35千克
析规律 正数、负数的实际应用
本题中的“零上、上升、前进、收入、运进”表示的量均为正数,与它们意义相反的量则都用负数表示.
2.正数与负数
(1)正数的概念:为了表示某一问题中具有相反意义的两种量,我们把其中一种意义的量,如零上温度、高于海平面高度等规定为正的,用原来熟悉的数如1,6,7,9,8 844来表示它们,这样的数叫做正数.正数的前面也可添上正号“+”,如+1,+5,+16,通常情况下,正数前的正号可省略不写.
(2)负数的概念:把与正数相反意义的量,如零下温度、低于海平面高度等规定为负的,用在正数前面添上负号“-”的数,如-3,-14,-155来表示它们,这样的数叫做负数.
(3)关于正数和负数的几点说明
①正数前面的“+”号可以省略,如+3前面的“+”号可省略不写;
负数前面的“-”号不能省略,如负5写作-5.
②正数和负数是相对而言的,取决于作为基准的量,但一般情况下,人们习惯这样来规定正数和负数:收入为正,支出为负;零上为正,零下为负;高出海平面高度为正,低于海平面高度为负.
③判断一个数是否是负数,关键是看是否正数前面带有“-”号,而不是看它是否有“-”号.
辨误区 正、负数的意义
对于正数和负数的意义,不能简单地理解为带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.而应该理解为“所有大于零的数都是正数,所有小于零的数都是负数”.
【例2】 指出下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
-2,+2,3,204,-0.02,+3.65,-5.
分析:根据正数和负数的意义来判断,尤其要弄明白负数的意义:在正数前面加上“-”号.
解:正数是:+2,3,204,+3.65;
负数是:-2,-0.02,-5.
3.零的意义
(1)0既不是正数,也不是负数,是我们认识的数中唯一的一个“中性数”.
(2)0比任何正数小,比任何负数大,它是正数与负数的分界.
(3)0在计数时表示“没有”.
(4)0是表示具有相反意义量的基准数.此时它不能表示没有.
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高,收支平衡可记作0元.
辨误区 正确判断字母表示的数的性质
要特别注意:“大于0”是正数的本质,当用字母表示数时,不能只看带不带“+”号,不要误认为“a”前面是正号就是正数,也不要以为“-a”前面带有“-”号就是负数,关键是看这个数是不是大于0.
【例3】 下列说法正确的是( ).
A.零是正数不是负数
B.零既不是正数也不是负数
C.零既是正数也是负数
D.不是正数的数一定是负数,不是负数的数一定是正数
解析:根据正数和负数的概念,对选项进行一一分析,排除错误答案.0既不是正数,也不是负数.只有B符合.
答案:B
4.有理数
(1)有理数的概念
整数包括正整数、零和负整数;
分数包括正分数和负分数;
整数和分数统称为有理数.
(2)有理数的分类
①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类.即
②有理数还可以按照性质分为:正有理数、零和负有理数三类.即
谈重点 有理数的分类
既是正数又是整数的数是正整数,既是负数又是整数的数是负整数,既是正数又是分数的数是正分数,既是负数又是分数的数是负分数.
【例4】 把下列各数填在相应的横线上:
-35,0.7,80,-,-0.88,0,3.14,-7.9,234,,3,-10.
正整数_______________________________________________________________;
正分数_______________________________________________________________;
负整数_______________________________________________________________;
负分数_______________________________________________________________.
解析:先把有理数分为正数和负数两类,再把正数分为正整数和正分数两类,把负数分为负整数和负分数两类,分别填写在相应的横线上.
答案:80,234,3 0.7,3.14, -35,-10 -,-0.88,-7.9
5.正确理解具有相反意义的量的意义
在实际生活中,常常把零上温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正,而把与它们意义相反的量规定为负,用负数表示.
引入负数后,“0”不再仅仅表示没有,而是正数和负数的分界,具有初始位置的意义.
(1)相反意义的量基准明确
就是说变化过程方向明确,数量明确,不受其他数的影响,也不用关心起始点,此类问题只要规定好一个方面为正,则另一个方面为负就可以.
(2)相反意义的量基准不明确
有些数据型的量,起点不是以0开始的,则需要把某一个数值视为基准点0,如平均数等,以这个基准值为界,以上的记为“+”,以下的记为“-”.
把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起,综合性较强,是近几年中考的热点之一.
【例5-1】 某项科学研究,以45分钟为一个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负,10时以后记为正,例如,9:15记为-1,10:45记为1等等.依次类推,上午7:00应记为( ).
A.3 B.-4 C.-2.15 D.-7.45
解析:本题中的标准是上午10时为0,表示方法是10时以前记为负,10时以后记为正,要求用新规定来表示7:00.7:00到10:00是180分钟,180÷45=4,因为7:00在10:00以前,所以7:00应记为-4.
答案:B
【例5-2】 一个物体可以左右移动,若规定向右移动为正,则向右移动10 m
应记作__________,向左移动4 m应记作__________,-8 m表示物体__________,0 m表示物体__________,向左移动-2 m就是向__________移动2 m.
解析:正、负数可以表示具有相反意义的量,若向右记为“正”,那么向左则记为“负”;或者说若正数表示向“右”,那么负数表示向“左”,零表示不动.
答案:+10 m -4 m 向左移动8 m 原地不动 右
【例5-3】 小王骑车向东走了10千米,又向西走了5千米.怎样用正负数表示?
解:若规定向东为正,则小王骑车向东走了10千米,表示为+10千米,向西走了5千米,可表示为-5千米;
若规定向西为正,则小王骑车向东走了10千米,表示为-10千米,向西走了5千米,可表示为+5千米.
6.有理数的分类
有理数有两种基本的分类方法,一种分类根据定义,另一种分类根据数的符号,即有理数的性质.
不论哪种分类形式都要有明确分类的依据,分类时要做到不重不漏,两种分类形式不能混淆.必须弄清楚非负数和非正数的范围.
正数和零统称为非负数;负数和零统称为非正数;正整数和零统称为非负整数,即为自然数;负整数和零统称为非正整数.
注意:①“小数”属于分数;“自然数”属于整数.
②在所有含“正”“负”字眼的数集中,都不能出现“0”.因为“0”既不是正数也不是负数.
【例6】 把下列各数填在相应的括号内:
-3,2,-1,-,-0.58,0,-3.141 592 6,0.618,,5.23.
整数:{ …};
负数:{ …};
分数:{ …};
非负有理数:{ …};
负分数:{ …}.
答案:整数:{-3,2,-1,0,…};
负数:;
分数:;
非负有理数:;
负分数:.
7.正负数在实际生活中的应用
(1)在股票交易中的应用
日常生活中水位的变化,股市行情变化,温度升降等都可以用正数和负数表示,不仅能表示出变化的方向,而且还能表示出变化幅度的大小.例如:在股市上,上涨记为“+”,下跌记为“-”,不涨不跌记为“0”.
(2)在产品检测中的应用
某一产品质量是否合格,都有一定的指标数值,而实际生产的产品,可能在这一标准上下波动,波动值在规定的范围内称为合格,超出了规定值,则不合格,某粮店出售的某种品牌的面粉袋上标有质量为(25±0.2) kg的字样,从中可以看出,在这袋面粉中,最多可以超出标准质量0.2 kg,最低低于标准质量0.2 kg,它的标准值是25 kg.一般把产品的标准值记为0,在标准值以上的记为正,以下的记为负.
解技巧 根据标准数确定正、负数
抓住标准数,标准以上记为“+”,标准以下记为“-”,即比标准数量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.
【例7-1】 股市有风险,投资须谨慎,王先生上周五买进某种股票3 000股,每股16元,下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位:元):
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
0.8
1.5
-0.5
-1.1
0.6
相对于前一个交易日,哪天股票是上涨的,哪天是下跌的?
分析:根据股票交易表示法,正数表示上涨,负数表示下跌.
解:周一、周二、周五这三天是上涨的,周三、周四是下跌的.
【例7-2】 某品牌奶粉标准质量是454克,超出2克的记为+2克,若低于标准质量3克以上,则视为不合格.现抽取10袋进行检测,结果如下:
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
记作
-2
0
3
-4
-3
-5
+4
+4
-5
-3
(1)这10袋中,有几袋不合格?
(2)质量最大的是哪袋,实际质量是多少?
(3)质量最小的是哪袋,实际质量是多少?
分析:此题是在基准数的基础上波动,所以在基准数的基础上加减.
解:(1)有3袋不合格,分别是第4袋、第6袋和第9袋.
(2)质量最大的是第7,8袋,实际质量均是454+4=458(克);
(3)质量最小的是第6,9袋,实际质量均为454-5=449(克)., 8.按规律排列的有理数
当数的范围扩大到有理数之后,按一定的规律排列有理数,就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段,并且成为中考命题的热点.
研究数学、学习数学、应用数学的过程,实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程.
解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系,其中数的符号是首先要考虑的,数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定.
对于数字规律性问题,我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系.解这一类题目,要用到归纳推理,它是一种重要的数学思想方法.数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索、猜想而得到的,学习数学必须不断去探索、猜想、总结规律,才会有所发现,有所创造.
【例8】 观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,并说出第99个数是什么?第2 013个数是什么?
(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,__________,__________,__________,…;
(2)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,__________,__________,__________,…;
(3)-1,,-,,-,,-,__________,__________,__________,….
分析:(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数……的规律排列的一组整数,(1)去掉数的符号后是1,(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数;(3)是按负数、正数、负数、正数……的规律排列的一组分数,其分母是按顺序排列的自然数,即分母就是数的序号,分子是1.
解:(1)1,-1,1,第99个数是1,第2 013个数是1;
(2)9,-10,11,第99个数是99,第2 013个数是2 013;
(3),-,,第99个数是-,第2 013个数是-.
谈重点 寻找数字规律的方法
仔细观察数字以及它的符号的特点,把数和它的序号建立联系,特别注意其中符号的确定方法.