4.2 线段、射线、直线
1．线段
像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．
线段有两种表示方法：
(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；
(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．
释疑点 对线段的理解
线段不能延伸，只能延长，延长的部分叫线段的延长线，延长线段AB是指按从A到B的方向延长，如图(1)，延长线段BA是指按从B到A的方向延长，也可以说反向延长线段AB，如图(2)，一般延长线画成虚线．
【例1】 平面上有三个点A，B，C，以其中任意两个点为端点的线段有( )．
A．3条 B．1条
C．3条或1条 D．以上都不正确
解析：如图，分点A，B，C三点在同一条直线上与三点不在同一条直线上两种情况，不管哪种情况下，所确定的线段均为：线段AB、线段BC、线段AC.故选A.
答案：A
2．射线
将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．
射线的表示法：
两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.
释疑点 射线的表示方法
(1)表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．如图中的射线既可以表示为“射线OA”，又可以表示“射线OB”，但不能表示为“射线AO”或“射线BO”．
(2)同一条射线有不同的表示方法．如图中“射线OA”与“射线OB”表示的是同一条射线．
(3)端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线．如图中，射线OA与射线OC是两条不同的射线，射线OB与射线AB也是两条不同的射线．
(4)两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．
【例2】 如图，图中有几条射线？其中可以表示的是哪几条？
分析：以端点和方向分类，以A为端点的左右各一条，可表示的是射线AB；以B为端点的左右各一条，可表示的是射线BA；以C为端点的左右各一条，可表示的是射线CA、射线CB；以D为端点的左右各一条，可表示的是射线DA、射线DB.
解：图中有8条射线，其中可以表示的有6条，射线AB、射线BA、射线CA、射线CB、射线DA、射线DB.
辨误区 正确理解射线的表示方法
(1)射线AB、射线BA不是同一条射线；(2)以A为端点且方向向左的射线和以B为端点且方向向右的射线只有一个端点；(3)不能把图中射线AC，AD，AB当作三条射线，它们的端点相同，方向相同，所以是同一条射线；(4)以端点为分类标准，易于观察，可保证不重复不遗漏．
3．直线
将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．
直线的两种表示方法：
(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.
(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.
谈重点 直线、射线和线段的联系与区别
线段
射线
直线
图形
表示方法
线段AB、线段a
射线OM
直线AB、直线l
端点
2个
1个
无
共性
线段、射线、直线都是笔直的
特性
线段有两个端点，不向任何一旁延伸，可以度量；射线有一个端点，向一旁无限延伸，不能度量；直线没有端点，向两旁无限延伸，不能度量
联系
射线和线段都是直线的一部分
【例3－1】 下列关于表示直线的说法中，正确的是( )．
A．直线ab
B．直线AB与直线BA不是同一条直线
C．直线a
D．直线AB与直线CD一定是两条直线
解析：选项A错，用两个字母表示直线时，必须大写；选项B错，直线AB与直线BA是同一条直线；选项C对；选项D错，若A，B，C，D在同一直线上，则直线AB与直线CD是同一条直线．
答案：C
说方法 线段、射线、直线的表示方法
表示线段、射线、直线时，都要在字母的前面标明“线段”、“射线”、“直线”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母可交换位置，但表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把端点字母写在前面．
【例3－2】 已知平面上四点A，B，C，D，如图：
(1)画直线AB；
(2)画射线AD；
(3)直线AB，CD相交于E；
(4)连接AC，BD相交于点F.
分析：此题考查学生对于两点确定一条直线，以及利用两条直线相交只有一个交点来进行解答，培养学生的几何作图能力．注意直线、射线、线段的不同画法．
解：如图所示．
说方法 如何画线段、射线、直线
连接两点得到的是线段；画射线，注意端点和方向，即端点不能出头，方向部分必须出头；画直线AB，两个方向直线都必须过A，B两点．
4．直线的性质
(1)经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
(2)两条直线相交只有一个交点．
谈重点 对直线的性质的理解
(1)一条直线上有无数多个点．两条直线相交只有一个交点．
(2)经过一点能画无数条直线，而经过两点能够画一条直线，并且只能画一条直线．
(3)点与直线有两种位置关系：一是点在直线上，即直线经过这个点；二是点在直线外，即直线不经过这个点．
【例4】 三条直线a，b，c两两相交，交点的个数为( )．
A．1 B．2
C．3 D．1或3
解析：三条直线a，b，c两两相交，有如图两种情况：
图(1)中有3个交点，图(2)中有1个交点，所以三条直线a，b，c两两相交，有1个或3个交点．故选D.
答案：D
释疑点 三点的位置关系
对三点位置进行分类，分成如下两种情况：三点在同一条直线上；三点不在同一直线上．
5．确定直线上的线段的条数
在直线上有无数个点，每两个端点构成一条线段，构成线段的条数随着端点的个数增加而增加，确定直线上的线段的条数时，有两种思路，一是由端点的顺序依次数线段；二是由线段的顺序依次数线段；三是探究线段的条数与作为端点的个数的关系．解决这类问题时，要结合端点的个数来确定用哪一种方法来解决．
析规律 正确数出线段的条数
在一条线段上数线段的条数时，要根据线段的实质，做到不重不漏，如果在一条线段上有n个点，那么这个图形中共有线段的条数为.
【例5】 如图(1)，在线段AB上取一点C时，共有几条线段？
如图(2)，在线段AB上取两点C，D时，共有几条线段？
如图(3)，在线段AB上取三个点C，D，E时，共有几条线段？
解：观察图形，每个点都与另外的一个点确定一条线段．如在线段AB上取一点C时，A点与B，C确定线段AB，AC，B点与A，C确定线段BA，BC，C点与A，B确定线段CA，CB，这时共有2×3条线段，但由于线段AB与BA，线段AC与CA，线段BC与CB是同一条线段，所以线段的条数实际为×2×3＝3，即三条线段，由此可以推出，在线段AB上取两点时，线段的条数为×3×4＝6；在线段AB上取三点时，线段的条数为×4×5＝10.所以(1)在线段AB上取一点C时，共有3条线段；(2)在线段AB上取两点C，D时，共有6条线段；(3)在线段AB上取三个点C，D，E时，共有10条线段．
6.探求直线的交点个数的规律
探求直线的交点个数的规律时，从简单的特例入手分析，在直线数量增加的同时，记录下交点个数的变化，在变化的数据中总结出具有一般性的规律．
析规律 n条相交直线的交点个数
n条直线相交，那么交点的个数最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个．
【例6】 四条直线两两相交，它们的交点的个数为( )．
A．6 B．1或6
C．4或6 D．1或4或6
解析：根据题意画图，有如下三种情况，由下图可知四条直线两两相交的交点的个数依次为1或4或6.
答案：D
7．直线上的线段的条数的实际应用
生活中涉及线段的实际应用比较广泛，一些实际问题可以把它用图形来直观地加以解决，这也是数学之美妙的一个方面．我们应该注意发现现实生活中的素材，提高我们解决实际问题的能力．
【例7】 从秦皇岛开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
解：当n＝4时，
有S＝＝＝6(种)，
所以车票有6×2＝12(种)．
答：有6种不同的票价，有12种车票．
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