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数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
6.1 函 数（1）
教学目标
1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．
2．通过实例，让学生多角度、多层面地认识和理解函数的意义，感受函数的多种表示形式．
3．能说出一些函数的实例，并能判断两个变量间的关系是否是函数关系．
教学重点
1．函数概念的建立．
2．判断两个变量间的关系是否是函数关系．
教学难点
函数概念中的常量、变量的理解及其对应关系探索．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情景创设
十年前大家还是个蹦蹦跳跳的孩子，随着年龄的增长，大家的个子越来越高．我们生活在一个四季明显的地理位置上，随着四季的变化，气温也随之变化……
“变化”让我们的生活多姿多彩，“变化”也时常给我们带来困惑，所以“变”引领我们去探索新知，这节课开始让我们在变化过程中去感悟新知识——函数．
感受变量，及变量之间内在的联系．
由“变”到“变化的量”实现生活到数学的自然过渡．
二、探索学习
下面我们先来看一个有关行程的问题．
从甲地到乙地，有一辆匀速行驶的列车．
在从甲地到乙地的行驶过程中，有哪些量？在这些量中有哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？
在上面的过程中，列车行驶的速度数值不变，甲地到乙地的路程数值不变，这样的量我们称之为常量．
而列车行驶的时间，列车距起点、终点的路程不断变化，这样的量我们称之为变量．
由此，我们得到两个新的概念：常量与变量的概念．
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．
列车行驶的时间在不断变化；列车距离起点和终点的路程也在不断变化；列车行驶的速度不变；从甲地到乙地的路程不变．
通过“提出问题——寻找其中的量——对量进行分类——归纳概念”，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解．
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你还能举出生活中的某些变化过程，并说明其中的常量和变量吗？
例如：在升旗过程中，旗杆的高度不变是常量，国旗的高度是变量．
注意：常量和变量是相对于某一特定变化过程而言的，同一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中也可能是变量（如当列车进站刹车后，速度就变常量）．
在刚才的问题中我们看到：随着年龄的增长，大家的个子越来越高；随乘车时间的增加距离目的地越来越近；随音乐播放时间的推进国旗的高度越来越高……在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量．
在不同变化过程中探索变量与变量之间的关系．
问题1 看一个波纹问题．
一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆．
你能用语言描述变化中圆的面积与其半径大小之间的关系吗？
问题2 看一个水库蓄水问题．
已知水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：
水
位
m
106
120
133
135
……
蓄
水
m3
2．30×107
7．09×107
1．18×108
1．23×108
……
你能从表格里获得哪些信息？
变量：波纹圆面积和半径．
圆的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
从表中可以看出，
水位为106 m时，蓄水量为2．30×107m3；
水位为120 m时，蓄水量为7．09×107m3 ．
……
变量：水位和蓄水量．
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水位高低与蓄水量有什么关系？
注意：利用表格，工作人员能根据观察的水位，及时报告水库蓄水量．
问题3 看搭小鱼问题．
如图，搭一条小鱼需要8根火柴， 每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的常量和变量．
下面我们重点讨论这两个变量间的关系：
你能写出搭n条小鱼所需的火柴根数s与小鱼条数n之间的关系式吗？说说你从关系式中获得的信息．
在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减少，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变．
变量：总共需要的火柴数和所搭小鱼的条数．
S＝8＋6（n－1），
由上面的关系式可知，在搭小鱼的过程中，火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数s也保持一定．
三、归纳总结
上面三个实际问题的共性为：
上面的每个变化过程都有两个变量，且当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称 y是 x的函数，x是自变量．
回头看前面的实例（回放图片），现在可以用函数的思想来理解其中两个变量间的关系了．
在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，蓄水量是水位的函数；
学生在情景中感受和体会函数概念．
由于学生首次接触函数概念．因此在学习中重在让学生感受概念：通过大量的具体实例，让学生充分认识事物的变化过程，并探索在这个过程中两个变量之间的相互关系，提升认识，形成函数概念．
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在搭小鱼的过程中，总共需要的火柴数随所搭小鱼的条数的
变化而变化，所用火柴根数s是小鱼条数n的函数；
在波纹逐渐变化的过程中，圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积是半径的函数．
注意到我们可以用多种方式表示变化过程中的函数关系 ．
你还能举出一些类似的实例吗？
四、练习巩固
1．把一根2m长的铁丝围成一个长方形．
（1）当长方形的宽为0.1 m时，长为多少？
（2）当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？
（3）这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？
2．“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量是什么？
3．按图示的运算程序：输入x→＋2→×5→－4→输出y
输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y， y 是 x 的函数吗？为什么？
相互交流，共同解答．
解：（1）宽为0.1m时，长为；
（2）宽为0.2m时，长为；
（3）在这个变化过程中有两个变量“长”和“宽”，“长”随着“宽”的变化而变化；且对于“宽”的每一个值，“长”都有唯一确定的值与之对应，所以长方形的长是宽的函数．
解：该变化过程中有两个变量，漏到另一容器中细沙的数量和经过的时间．其中自变量是漏到另一容器中细沙的数量．
解：y是x的函数．当x变化时，变量y总有唯一值与之对应．
在学生解题的过程中强调“用函数的定义来思考”．其实，回到定义去，是给了学生一种思考的方法．
最后两小题让学生深入理解函数的定义，可根据学生实际选用．
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4．
8
-8
9
-9
64
81
如果用x代表左边的数字，用y代表右边的数字，那么变量y是否是变量x的函数？为什么？
5．下列各变量之间的关系，不能构成函数关系的是( ) ．
A．圆的周长与半径；
B．长方形的宽一定，它的面积与长；
C．正方形的面积与周长；
D．等腰三角形的面积与底边长．
提示：先分析变化过程中变量间的关系（可先列出关系式），再紧扣函数概念加以识别．A、B、C均符合；D中底边上的高也是变量，故不止两个变量，所以不是函数关系．
解：D．
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五、课堂小结
通过本节课的学习，对自己说，你有哪些收获？
让我们一起回顾一下今天我们这节课的内容．
本节课我们首先感受了生活中反映变化过程的几个事例，并从中抽象出常量和变量的概念；
接着我们关注了一些只含有两个变量，并且当一个变量确定时另一个变量也随之唯一确定的实际的变化过程，由此引入了函数的概念；
进而我们学会用函数的思想认识事物运动变化的过程．
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．
小结不仅可以帮助学生梳理知识、理清脉络，而且还能够起到提升认识、内化认知结构的作用．老师、同学、自己三方融为一体进行知识梳理、答疑、解惑，很好的发挥了学生的主观能动性，有利于培养学生的反思能力、问题意识，但作为一个初学者，由于学生对新概念缺乏较全面、系统、深刻的认识和把握，所以小结不宜完全脱离教师的引导和归纳．
六、作业布置
举出你身边函数的例子，并思考它们可以用怎样的形式进行表示？
总结本节课的内容，提出新的思考．
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