4.1 几何图形
1．认识几何图形
我们周围的物体，多姿多彩，如果只研究它们的形状和大小，而不涉及它们的其他性质，就得到各种几何图形．
【例1】 如图，左面是一些具体的物体，右面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的实物(用线连接)．
答案：如图所示：
说方法 如何确定实物的形状
确定实物的形状，关键是分清几何体与实物的区别，实物抽象成几何体，要透过表象看本质，抓住实物的形状特征，看其轮廓和哪个立体图形类似．
2．体、面、线、点的概念及几何图形的组成
(1)体、面、线、点的概念
长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体；包围着体的是面．面有平的面与曲的面两种，平面没有边界；几何体中面与面相交形成线；线与线相交得到点．
(2)几何图形是由点、线、面、体组成的．其中点是最基本的图形．而点本身也是一个最简单的几何图形，点没有大小，只表示位置．
(3)生活中的立体图形其实都是由最基本的几何图形组成的，其中线是由点组成，面是由线构成，体是由面围成，这也就是我们常说的“点动成线，线动成面，面动成体”．
释疑点 点、线、面、体的关系
一条线可以看作是一个点运动之后形成的；线经过运动得到一个面；面经过运动就形成几何体．
如流星的运动和我们在纸上画线的过程，就是点动成线的例子．时钟的秒针旋转一周，形成一个圆面，这说明线动成面．一个矩形木板绕着它的一条宽旋转一周，就形成一个圆柱，这说明面动成体．
【例2－1】 如果我们把流星看作一个点，那么我们观察流星移动时，会看到它划过一条长弧，这说明了__________，当直升机启动后，随着螺旋桨转动速度的加快，我们会看到一个圆面，这说明了__________，把一枚硬币用左手竖放在桌面上，使右手用力一弹，硬币会高速旋转，我们会看到一个球，这说明了__________．
答案：点动成线 线动成面 面动成体
说方法 理性认识物体的形状
理解相关概念，学会观察，对物体形状的认识逐步由感性认识上升到理性认识．
【例2－2】 将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周，得到的几何体是( )．
解析：
A
×
圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的
B
×
圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的
C
×
该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的
D
√
该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的
答案：D
3．多面体与旋转体
(1)长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，这样的几何体都是多面体．多面体中面与面的交线是直的，它们叫做多面体的棱，棱与棱相交的点叫做多面体的顶点．例如，如图长方体有12条棱，8个顶点．
(2)圆柱、圆锥、球都是旋转体．围成圆柱、圆锥的面有平的面和曲的面，其中平的面是底面、曲的面是侧面．圆柱、圆锥中侧面与底面的交线是曲线；围成球的面是曲的面．
【例3】 下列结论中正确的是( )．
①圆柱由3个面围成，这3个面都是平面；
②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个是平面，1个是曲面；
③球仅由1个面围成，这个面是平面；
④正方体由6个面围成，这6个面都是平面．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
解析：
①
×
圆柱由3个面围成，其中两底面是平面，侧面是曲面，所以①错误．
②
√
圆锥由2个面围成，其中底面是平面，侧面是曲面，所以②正确．
③
×
球是由1个面围成的，这个面是曲面，所以③错误．
④
√
正方体是一个多面体，它是由6个平面围成的，所以④正确.
答案：C
释疑点 对多面体的理解应注意的问题
多面体的面都是平面，没有曲面，可能是规则的立体图形，也可能是不规则的立体图形．多面体根据组成这个立体图形的面数决定是几面体．如正方体是六面体．
4．几何图形的有关概念
(1)几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形；
(2)像长方体、圆柱体、球等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫做立体图形．
【例4】 下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥
圆柱．其中属于立体图形的是( )．
A．③⑤⑥ B．①②③
C．③⑥ D．④⑤
解析：三角形、长方形、正方形、圆是平面图形；正方体、圆锥、圆柱是立体图形．
答案：A
释疑点 正确判断立体图形和平面图形
判断一个图形是立体图形还是平面图形，关键是判断这个几何图形上面的每一个点是否都在同一个平面内，如果图形上每一个点都在同一个平面内，那么这个几何图形就是平面图形，否则是立体图形．
5．区分几何图形
几何体两种常见分类：
释疑点 几何体的分类原则
分类的原则是“不重不漏”．“不重”也就是说同一个几何体不能隶属于同一分类标准下并列的两个种类，“不漏”就是说题中所列举的所有图形都要能属于某个种类．
【例5】 将如图所示的几何体进行分类，并说明理由．
分析：几何体的分类不是唯一的．我们应先观察各个几何体，努力发现其共同点，然后可根据其共同点来进行适当的分类．
解：若按柱体、锥体、球体来分类：(2)(3)(5)(6)是柱体，(4)是锥体，(1)是球体；
若按几何体的面是否含有曲面来分类，则(1)(4)(6)是旋转体，(2)(3)(5)是多面体．
6.探究多面体的棱的条数
常见的多面体有棱柱和棱锥，判断一个多面体的顶点数和棱数首先要判断这个多面体是棱柱还是棱锥，如果是棱柱，先观察是几棱柱，再判断顶点数和棱数，因为n棱柱有2n个顶点，有3n条棱；如果是棱锥，先观察是几棱锥，再判断顶点数和棱数，因为n棱锥有(n＋1)个顶点，有2n条棱．对于简单的棱柱和棱锥也可以根据图形的直观性判断．
析规律 多面体的顶点数、面数、棱数之间的关系
多面体的顶点数、面数和棱数之间存在如下关系，即顶点数＋面数－棱数＝2，所以一个多面体只要知道了顶点数、面数、棱数中的任意两个可求另一个数．
【例6】 如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：
(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？
(2)这个八棱柱一共有多少条棱？多少个顶点？
(3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
解：(1)这个八棱柱一共有10个面，上下两个底面是八边形，八个侧面都是长方形；上下两个底面的形状、面积完全相同，八个侧面形状、面积完全相同．
(2)这个八棱柱一共有24条棱，16个顶点．
(3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是长方形，长为5×8＝40(厘米)，宽为6厘米，所以面积是40×6＝240(平方厘米)．
7．多面体在生活中的应用
在现实生活中，多面体的应用十分广泛，解决生活中的多面体问题，一方面，我们要开动脑筋，努力去思考可能会发生的多种情况，培养空间想象能力，一题多解问题有利于我们创造性思维的发展；另一方面，我们要主动动手操作，在实践活动中积累经验，探索规律．
通过探究立体图形的棱的数量关系逐步提高同学们对立体图形的认识，以及数形结合的思想．
【例7】 如图，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要__________根钢管．
解析：图①可以看作是一个正方体和一个三棱柱组合而成的，它共有17条棱．两个这样的图形有17×2－6＝28条棱，三个这样的图形有17×3－6×2＝39条棱，…，7个这样的图形有17×7－6×6＝83条棱．
答案：83
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