第16讲 直角三角形
考纲要求
命题趋势
1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．
2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.
直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.
知识梳理
一、直角三角形的性质
1．直角三角形的两锐角________．
2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、直角三角形的判定
1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．
2．有两角________的三角形是直角三角形．
3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．
4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．
自主测试
1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cos B＝( )
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③，，；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考点一、直角三角形的判定
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．
分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF
＝90°.
解：△MEF是等腰直角三角形．
连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，
∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°.
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA.
又∵FB＝FD，∴FB＝EA，
∴△BFM≌△AEM(SAS)，
∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME.
∵∠AMF＋∠BMF＝90°，
∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．
方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．
触类旁通1 具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是( )
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝90°－∠C
C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90°
考点二、直角三角形的性质
【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE.
(1)解：图2中△ABE≌△ACD.
证明如下：
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD.
又∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.
(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.
又∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE.
方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．
考点三、勾股定理及其逆定理
【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.
在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB＝＝＝10(cm)．
∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.
∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.
∴CD的长为3 cm.
方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．
2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．
触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．
考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用
【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．
解：设E站应建在距A站x km处，
根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.
所以E站应建在距A站6 km处．
方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．
触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )
A． B． C． D．
2．(2012浙江湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A．20 B．10
C．5 D．
3．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121
4．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为________°.
5．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．
6．(2012重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD
是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．3cm D．6cm
2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( )
A．5 B．25 C．5或25 D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )
A．S1＝S2 B．S1＜S2
C．S1＞S2 D．无法确定
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是( )
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝2，则BE的长为__________．
7．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．
8．如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．C ∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cos B＝＝.
2．B 3．D
探究考点方法
触类旁通1．D
触类旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，
在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，
∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36.
触类旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：
(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32 m.
(2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝＝4，故△ABD的周长为(20＋4) m.
(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，则x＝，故△ABD的周长为m.
品鉴经典考题
1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
根据勾股定理得：AB＝＝15.
过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝，
则点C到AB的距离是.
2．C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.
3．C 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，
所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110.
故选C.
4．85 ∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.
5．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．
6．解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，
∴BC＝2AB＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2.
研习预测试题
1．D
2．A 由a＋c＝2b，c－a＝b，
可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
3．C 4．A
5．C 由折叠性质可知，AE＝BE，
设CE为x，则BE＝8－x.
在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2，
所以x＝.故＝＝.
6．4 ∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝4，BC＝4.
在Rt△ACB中，AC＝＝8，∴CE＝AC＝4.
∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝4.
7． 根据题意易知CD＝AC＝，AD＝DE＝()2＝2，EF＝AE＝2，AF＝FG＝2×＝4，AG＝4，所以所求图形的面积S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(＋2)×＋×(2＋4)×2＝＋3＋12＝.
8．证明：(1)在等腰Rt△ABC中，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°.
∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC.
∴∠DCA＝∠DCB＝45°.
由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，
∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，
∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.
(2)如图，连接MC.
∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.
又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，
∴∠EMC＝∠ADC.
又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.
∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.
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