2014届高考数学一轮复习教学案_函数的奇偶性及周期性.doc

第四节函数的奇偶性及周期性 ‎[知识能否忆起]‎ 一、函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、周期性 ‎1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．y＝sin x　　　　　　　　 B．y＝x3‎ C．y＝ex D．y＝ln 解析：选D　四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sin x为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln为偶函数．‎ ‎2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：选B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，‎ ‎∴a－1＋‎2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴b＝0，∴a＋b＝.‎ ‎3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选B　∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，‎ ‎∴f(0)＝0，T＝4.‎ ‎∴f(8)＝f(0)＝0.‎ ‎4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.‎ 解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0，对于x∈R恒成立，故a＝0.‎ 法二：由f(－1)＝f(1)，‎ 得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.‎ 答案：0‎ ‎5．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.‎ 解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.‎ 答案：－9‎ ‎　 1.奇、偶函数的有关性质：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；‎ ‎(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；‎ ‎(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；‎ ‎(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．‎ ‎2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．‎ 函数奇偶性的判断 典题导入 ‎[例1]　(2012·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)·g(x)(　　)‎ A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是偶函数也不是奇函数 ‎[自主解答]　∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．‎ ‎[答案]　A 由题悟法 利用定义判断函数奇偶性的方法 ‎(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；‎ ‎(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．‎ ‎[注意]　判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．‎ 以题试法 ‎1．判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝3x－3－x；‎ ‎(3)f(x)＝；‎ ‎(4)f(x)＝ 解：(1)∵由得x＝±1，‎ ‎∴f(x)的定义域为{－1,1}．‎ 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，‎ 即f(x)＝±f(－x)．‎ ‎∴f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)∵f(x)的定义域为R，‎ ‎∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，‎ 所以f(x)为奇函数．‎ ‎(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.‎ ‎∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，‎ ‎∴f(x)＝＝＝，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．‎ ‎(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；‎ 当x0的解集为(　　)‎ A．(－2,0)∪(2，＋∞)　　　　 B．(－∞，－2)∪(0,2)‎ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)‎ ‎[自主解答]　(1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，‎ 得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.‎ ‎(2)∵f(x)为偶函数，‎ ‎∴＝>0.‎ ‎∴xf(x)>0.‎ ‎∴或 又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，‎ 故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．‎ ‎[答案]　(1)－1　(2)B 本例(2)的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小．‎ 解：∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，‎ f(1－n)＝f(n－1)．‎ 又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0