2014届高考数学一轮复习教学案_命题及其关系、充分条件.doc

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[知识能否忆起]‎ 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ 二、四种命题及其关系 ‎1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若綈p，则綈q 逆否命题 若綈q，则綈p ‎2．四种命题间的逆否关系 ‎3．四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ 三、充分条件与必要条件 ‎1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(　　)‎ A．若＝，则x＝y　　　　 B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ D．若xb‎2”‎的充分条件；‎ ‎②“|a|>|b|”是“a2>b‎2”‎的必要条件；‎ ‎③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．‎ 解析：①由2>－3⇒/ 22>(－3)2知，该命题为假；②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知，该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．‎ 答案：②③‎ ‎　　1.充分条件与必要条件的两个特征 ‎ (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；‎ ‎ (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．‎ ‎ 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”‎ 两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．‎ ‎ 2．从逆否命题，谈等价转换 ‎ 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．‎ 四种命题的关系及真假判断 典题导入 ‎[例1]　下列命题中正确的是(　　)‎ ‎①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题；‎ ‎③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题．‎ A．①②③④　　　　　　 B．①③④‎ C．②③④ D．①④‎ ‎[自主解答]　①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝‎0”‎，正确；③中，Δ＝1＋‎4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．‎ ‎[答案]　B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．‎ 以题试法 ‎1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．‎ ‎①“若log‎2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎②命题“若a＝0，则ab＝‎0”‎的否命题是“若a≠0，则ab≠‎0”‎；‎ ‎③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；‎ ‎④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．‎ 解析：对于①，若log‎2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.‎ 答案：②④‎ 充分必要条件的判定 典题导入 ‎[例2]　(1)(2012·福州质检)“x”的既不充分也不必要条件．‎ ‎4．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件．‎ ‎5．(2012·广州模拟)命题：“若x2y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．‎ ‎8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，‎ ‎∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数．‎ ‎9．命题“若x>0，则x2>‎0”‎的否命题是________命题．(填“真”或“假”)‎ 解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤‎0”‎，它是假命题．‎ 答案：假 ‎10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x1或y>1.‎ 对于x2＋y2>2，当x1或y>1.‎ 对于xy>1，当x1或y>1，故选B.‎ ‎3．已知不等式|x－m|