平面向量的基本定理及坐标表示
[知识能否忆起]
一、平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
三、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
解析：选A ∵＝＋，∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于( )
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
解析：选A 由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．
3．(教材习题改编)已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)，
∴与同向的单位向量为＝.
4．在平行四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，则＝________，＝________.
解析：＝＝－＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，
＝－＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．
答案：(1,2) (0，－1)
5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝________.
解析：∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，
∴m＝，n＝－1.∴＝－4.
答案：－4
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯
一的．
2．向量坐标与点的坐标的区别
要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
平面向量基本定理及其应用
典题导入
[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．
[自主解答] ∵＝2，∴△DOC∽△BOA，且＝，∴＝＝(＋)＝＝a＋b.
[答案] a＋b
由题悟法
用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
以题试法
1．(2012·南宁模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 设＝m＝m(－)(0≤m≤1)，则＝＋＝(1－m) ＋m，＝＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.
平面向量的坐标运算
典题导入
[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1, )
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
[自主解答] (1)∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，
∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)．
(2)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)
＝(6，－42)．
②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
[答案] (1)D
本例中第(2)题增加条件＝3c，＝2b，求M，N的坐标及向量的坐标．
解：∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
由题悟法
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
[注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．
以题试法
2．(2012·淮安模拟)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝sin的图象上，则实数λ的值为________．
解析：由题意得＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，
故点C的坐标为(6,4＋2λ)，
根据条件得4＋2λ＝sin＝1，解得λ＝－.
答案：－
平面向量共线的坐标表示
典题导入
[例3] (2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B.
C．1 D．2
[自主解答] 可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.
[答案] B
在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行， 是同向还是反向？
解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，
若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.
∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．
即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．
由题悟法
a∥b的充要条件有两种表达方式
(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
以题试法
3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(
4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
(2)(2012·嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D ∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，满足＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，
∴即λμ＝1.
1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：选B ＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：选C 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量＝a，＝b，＝c，A，B，C在一条直线上，且＝－3，则( )
A．c＝－a＋b
B．c＝a－b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
解析：选A ∵＝－3，∴－＝－3(－)．
∴＝－＋，即c＝－a＋b.
4．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.其中正确的结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，∴∥，又A，B，C，O不共线，
∴OC∥AB.①正确；
∵＋＝，∴②错误；
∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．
5．(2012·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选D 由题意知向量a，b不共线，故m≠，解得m≠2.
6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B 由已知得DE＝EB，
又∵△DEF∽△BEA，
∴DF＝AB.
即DF＝DC.∴CF＝CD.
∴＝＝(－)
＝＝b－a.
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.
7．(2012·洛阳质检)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.
答案：4
8．(2013·九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
则得
此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，
故|a＋3b|＝＝.
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
解：(1) ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2
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