3.4 二元一次方程组的应用
1．列二元一次方程组解应用题
(1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤
①设出题中的两个未知数；
②找出题中的两个等量关系；
③根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；
④解这个方程组，求出未知数的值；
⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案．
(2)用方程解决实际问题的几个注意事项
①先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理．
②所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等．
③要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义．
④不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称．
⑤分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．
⑥对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程，即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等．
解技巧 用二元一次方程组解应用题的步骤
列二元一次方程组解决实际问题一般需要遵循如下步骤：①审题；②确定相等关系；③设出未知数；④解方程；⑤检验、写出答案．
【例1－1】 为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1号电池和5号电池每节分别重多少克？
分析：如果1号电池和5号电池每节分别重x克，y克，则4节1号电池和5节5号电池总重量为(4x＋5y)克，2节1号电池和3节5号电池总重量为(2x＋3y)克．
解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克，根据题意可得
②×2－①，得y＝20.
把y＝20代入②，得2x＋3×20＝240，x＝90.
所以这个方程组的解为
答：1号电池每节重90克，5号电池每节重20克．
【例1－2】 “甲、乙隔河放牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮助算一算，甲、乙各放多少羊？
分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.
解：设甲放羊x只，乙放羊y只．
由题意，得
解得
答：甲放羊59只，乙放羊43只．
析规律 如何列方程组解应用题
在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程即可完成，因此解决实际问题的建模过程非常重要．
2．足球比赛积分问题
足球比赛积分由比赛规则决定，足球比赛结果分胜、平、输三种情况，一般地，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．各类比赛规则不尽相同，因此，弄清比赛规则是正确列出方程的先决条件．这类问题基本等量关系为：比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分．
【例2】 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢了14场，负了5场，共得19分，则这个队胜了( )．
A．3场 B．4场
C．5场 D．6场
解析：设这个队胜了x场，平了y场，根据题意，得解得
则这个队胜了5场，平4场．
答案：C
3．列方程组解答生活中的百分比问题
在生活中，我们时刻都在与经济打交道，经常面临利润问题、利息问题等．解决这类问题，应熟记一些基本公式：
(1)增长率问题
增长率＝×100%；
计划量×(1＋增长率)＝增长后的量；
计划量×(1－减少率)＝减少后的量．
(2)经济类问题
利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×(1－利息税率)；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝×100%.
析规律 确定实际问题中的相等关系
先认真审题，找出问题中的已知量和未知量，再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，从而问题中的相等关系就会清晰地浮现出来．
【例3】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：
总产值
总支出
差
去年
x
y
500
今年
(1＋15%)x
(1－10%)y
950
题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；
(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．
解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出是y万元，由题意，得
解得
所以(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350.
故今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．
4.利用二元一次方程组解决信息题
(1)表格信息题是指通过表格的形式以及一定的文字说明来提供问题情景的一类试题．它的形式多样，取材广泛，条件清晰、明了．有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．
对图表型信息应用题，要善于从图表中挖掘信息，找到一些隐含信息，构建相应的数学模型，灵活应用所学知识来解决实际问题．
(2)情境信息题是通过图形中的文字表述或图中的人物对话获取信息，确定相等关系，列出方程组或通过观察图形，获取隐含信息，如拼图问题，要注意根据拼图中的相等线段找等量关系．
重在分析，审题，列式是核心，书写格式必须完整、准确．
要善于根据情境捕捉解题条件，把情境中的相等关系正确地转化为数学关系．
【例4】 在“五一”期间，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩，下图是购门票时，小明与他爸爸的对话．
(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？
(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．
解：(1)设去了x个成人，y个学生，则有解得
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
(2)若购团体票则需：16×35×0.6＝336(元)，
因为336(元)＜350(元)，
所以买团体票更省钱．
答：买团体票更省钱．
5．列二元一次方程组的应用题常用策略
(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．
(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．
(3)“部分”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题．
(4)“一般”与“特殊”转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然．
(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．
谈重点 用二元一次方程组解文字型实际问题
用二元一次方程组解决文字叙述型实际问题，最主要的是从实际问题中找到两个相等关系，通过设适当的两个未知数，用含有未知数的代数式表示数量关系，列出两个二元一次方程．
【例5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？
分析：20名同学每人买1支A型毛笔的钱＋每人买2支毛笔的钱＝145元；20名同学每人买2支A型毛笔的钱＋每人买1支B型毛笔的钱＝129元．
解：设该家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题意，得
即
化简，得
解得
∴这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．
6.利用方程组解决方案问题
“方案优化与设计”类型的题目逐渐成为热点考题，尤其是运用二元一次方程组求解的试题更为常见．对于二元一次方程组的应用问题，关键是由实际问题向数学问题的转化过程．
解答设计方案决策题，应先根据题意设计出可行的方案，然后再从中选择出最佳方案．
有时，不需要我们自己去设计，题目中提供给同学们几种可供选择的方案，只需根据题目要求通过计算得出最佳方案即可．
这类题目的特点比较突出，需要分类讨论不同的方案，选择满足某种要求的最优的方案．难点在于要求解的量不明显，其实，要求解的量恰恰是隐藏在“方案”中．
解答有些方案题时，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律问什么就设什么．有时候在方案设题中需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数．
方案设计题一般具有开放性，而且所给的题目具有很强的情境性，同学们一定要耐心地读懂题意，然后再根据要求去决策．
【例6】 某省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨的利润为1 000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元，经精加工后销售，每吨的利润涨至7 500元．当地的一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部的销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：选择第三种方案获利最多．
方案一：因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，总利润W1＝4 500×140＝630 000(元)．
方案二：因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余的50吨直接销售，总利润W2＝90×7 500＋50×1 000＝725 000(元)．
方案三：设15天内精加工蔬菜x吨，粗加工蔬菜y吨，依题意，得解得
总利润W3＝60×7 500＋80×4 500＝810 000(元)．
综合以上三种方案的利润情况，知W1＜W2＜W3.
所以第三种方案获得利润最多．
7.列二元一次方程组解决实际问题的常用方法
(1)数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系
因为利用表格可清楚地反映数量之间的关系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的．
解题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂．我们应根据具体的题目合理选择所设未知数的个数．
(2)借助“表格”或“线段图”分析复杂的问题
例如：从甲地到乙地全程3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行53.4分钟，求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？
这个问题中的数量关系借助线段图来分析更直观．
【例7】 据市场调查，个体服装店做生意，只要销售价高出进货价的20%便可赢利；假如你准备买1件标价为200元的服装．
(1)个体服装店若以高出进价的50%要价，你应怎样还价？
(2)个体服装店若以高出进价的100%要价，你应怎样还价？
(3)个体服装店若以高出进价的50%～100%要价，你应该在什么范围内还价？
分析：分别计算(1)(2)两种情况的最低价格．数量关系为：进价×(1＋50%)＝200，最低价＝进价×(1＋20%)；进价×(1＋100%)＝200，最低价＝进价×(1＋20%)．
解：(1)设该服装的进价为x元，则标价为x(1＋50%)元，
由题意可列方程1.5x＝200，
解得x＝，
从而最低价为×(1＋20%)＝160(元)．
(2)设该服装的进价为y元，则标价为y(1＋100%)元，由题意可列方程2y＝200，解得y＝100，从而最低价为100×(1＋20%)＝120(元)．
(3)由(1)(2)可知：买200元的服装一般应在120～160元之间还价．
答：个体服装店若以高出进价的50%要价，应还价160元；以高出进价的100%要价，应还价120元；以高出进价的50%～100%要价，应在120～160之间还价．
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