2014届高考数学一轮复习教学案_两直线的位置关系(含解析).doc

两直线的位置关系 ‎[知识能否忆起]‎ 一、两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方 程 y＝k1x＋b1‎ y＝k2x＋b2‎ A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)‎ A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ 相 交 k1≠k2‎ A1B2－A2B1≠0‎ 垂 直 k1＝－或 k1k2＝－1‎ A‎1A2＋B1B2＝0‎ ‎ 平 行 k1＝k2‎ 且b1≠b2‎ 或 重 合 k1＝k2‎ 且b1＝b2‎ A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)‎ 二、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．‎ 三、几种距离 ‎1．两点间的距离 平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：‎ d(A，B)＝|AB|＝.‎ ‎2．点到直线的距离 点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎3．两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为(　　)‎ A．6　　　　　　　　　 B．－6‎ C．5 D．－5‎ 解析：选B　由已知得k1＝1，k2＝.‎ ‎∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，‎ ‎∴1×＝－1，即m＝－6.‎ ‎2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为(　　)‎ A. B. C．5 D. 解析：选B　d＝＝.‎ ‎3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(　　)‎ A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)‎ C．(－a，－b) D．(－b，－a)‎ 解析：选B　设对称点为(x′，y′)，则 解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.‎ ‎4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为(　　)‎ A．3 B．5‎ C．－5 D．－8‎ 解析：选D　由得l1与l2的交点坐标为(1,1)．‎ 所以m＋3＋5＝0，m＝－8.‎ ‎5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．‎ 解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.‎ 答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0‎ ‎1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋‎ By＋C＝0的形式，否则会出错．‎ 两直线的平行与垂直 典题导入 ‎[例1]　(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[自主解答]　由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.‎ ‎[答案]　A 在本例中若l1⊥l2，试求a.‎ 解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，‎ ‎∴a＝－.‎ 由题悟法 ‎1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．‎ ‎2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.‎ ‎(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0.‎ 以题试法 ‎1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：选C　由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝‎ eq \f(b,sin B)，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．‎ 两直线的交点与距离问题 典题导入 ‎[例2]　(2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.‎ ‎[自主解答]　因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.‎ 设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.‎ ‎[答案]　 由题悟法 ‎1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．‎ ‎2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：‎ ‎(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.‎ ‎(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.‎ 以题试法 ‎2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．‎ 解析：由题意得＝≠，‎ 得a＝－4，c≠－2，‎ 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，‎ 则＝，解得c＝2或－6.‎ 答案：2或－6‎ 对 称 问 题 典题导入 ‎[例3]　(2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．6‎ C．3 D．2 ‎[自主解答]　如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2即为光线所经过的路程．‎ ‎[答案]　A 由题悟法 对称问题主要包括中心对称和轴对称 ‎(1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ 以题试法 ‎3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)‎ A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0‎ C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0‎ 解析：选A　与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.‎ ‎1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝‎ k‎2”‎是“l1∥l‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k‎2”‎是“l1∥l‎2”‎的充要条件．‎ ‎2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．‎ ‎3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　)‎ A. B. C．4 D．8‎ 解析：选B　∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.‎ ‎4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)‎ A．(0,4) B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ 解析：选B　由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．‎ ‎5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ 解析：选A　依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，‎ 即y＝x＋，其斜率是，‎ 由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.‎ ‎6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是(　　)‎ A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0‎ C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0‎ 解析：选C　设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.‎ ‎7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．‎ 解析：由‎2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．‎ 解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.‎ 答案：0,1,2‎ ‎9．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．‎ 解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－‎3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．‎ 答案：[0,10]‎ ‎10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．‎ 解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.‎ ‎11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．‎ 解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，‎ 由 解得A；‎ 由解得B.‎ ‎∵|AB|＝，‎ ‎∴ ＝，‎ 整理，得7k2－48k－7＝0，‎ 解得k1＝7或k2＝－.‎ 因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.‎ ‎12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点；‎ ‎(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．‎ 解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．‎ ‎∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①‎ 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，‎ ‎∴3×－＋3＝0.②‎ 由①②得 ‎ (1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，‎ ‎∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．‎ ‎(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，‎ 化简得7x＋y＋22＝0.‎ ‎1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　∵点P到点A和定直线距离相等，‎ ‎∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.‎ 设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．‎ ‎2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 解析：选C　设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.‎ ‎3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．‎ 解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，‎ 即3·＝－1.‎ 则a＋3b－12＝0.①‎ 又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，‎ 则3×－－1＝0，即‎3a－b－6＝0.②‎ 解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．‎ 于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.‎ 解得 即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．‎ ‎1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线xsin θ＋ycos θ－1＝0的距离是，那么θ等于(　　)‎ A. B.或 C. D.或 解析：选B　由已知得＝，‎ 即|sin θ－sin2θ|＝，‎ ‎∴4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，‎ ‎∴sin θ＝或sin θ＝.‎ ‎∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1，‎ ‎∴sin θ＝，即θ＝或.‎ ‎2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)‎ A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 解析：选B　l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.‎ ‎3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．‎ 解：法一：由 得 即反射点M的坐标为(－1,2)．‎ 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.‎ 而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上，‎ 即3·－2·＋7＝0.‎ 由得 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.‎ 法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，‎ 又PP′的中点Q在l上，‎ 即3×－2×＋7＝0，‎ 由 可得P点的坐标为 x0＝，y0＝，‎ 代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，‎ 故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.‎