第27讲 尺规作图
考纲要求
命题趋势
1．能用尺规完成五种基本作图．
2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．
3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题.
中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主.
知识梳理
一、尺规作图
1．定义
只用没有刻度的__________和__________作图叫做尺规作图．
2．步骤
①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．
二、五种基本作图
1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．
三、基本作图的应用
1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．
(2)作三角形的内切圆．
自主测试
1．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
2．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)实验与操作
利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.
(2)综合运用
在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则
①AD与⊙O的位置关系是__________．
②线段AE的长为__________．
4．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2,2)，点B的坐标是(7,3)．
(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
(2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
考点一、基本作图
【例1】按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)．
(1)在图(1)中作出∠ABC的平分线；
(2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O.
方法总结 依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．
触类旁通1 画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)
已知：
求作：
考点二、基本作图的实际应用
【例2】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
分析：∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．
解：下图即为所求图形．
方法总结 要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．
触类旁通2 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
1．(2012浙江绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内切正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．
2．连接AB，AC.
△ABC即为所求作的三角形．
乙：1．以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2．连接AB，BC，AC.
△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
2．(2012山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
3．(2012贵州铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
4．(2012山东德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法)
5．(2012广东)在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
(1)作∠A的角平分线交BC于D点．
(2)作AD的中垂线交AC于E点．
(3)连接DE.
根据他画的图形，判断下列关系何者正确？( )
A．DE⊥AC B．DE∥AB
C．CD＝DE D．CD＝BD
2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．
3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．
4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝
PN.(保留作图痕迹，不写作法)
5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．
(1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；
(2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B ∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形．故选B.
2．B 由图形作法可知，AD＝AB＝DC＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故选B.
3．解：(1)如图，
(2)①相切 ②
4．解：(1)存在满足条件的点C.
作出图形，如图所示．
(2)作点A关于x轴对称的点A′(2，－2)，连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P.设A′B所在直线的解析式为y＝kx＋b，把(2，－2)和(7,3)代入得解得
∴y＝x－4，当y＝0时，x＝4，
∴交点P为(4,0)．
探究考点方法
触类旁通1．解：已知：线段a，b，角β.
求作：△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β.
画图(保留作图痕迹)
触类旁通2．解：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
品鉴经典考题
1．A 根据甲的思路，作出图形如下：
连接OB.∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE＝DE＝OD.
在Rt△OBE中，∵OB＝OD，
∴OE＝OB，
∴∠OBE＝30°.又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°.
同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，
∴△ABC为等边三角形，故甲的作法正确．
根据乙的思路，作图如下：
连接OB，BD.∵OD＝BD，OD＝OB，
∴OD＝BD＝OB，∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD＝∠BOD＝60°.
同理可知△COD也为等边三角形，∠OCD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＋∠OCD＝∠BOD＋∠COD＋∠OCD＝180°，
∴BO∥CD.
又∵△BOD和△COD是等边三角形，
∴四边形BDCO是菱形，
∴∠OBM＝∠DBM＝30°.
又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，
同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，故乙的作法正确．故选A.
2．A 连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
∴△ONC≌△OMC(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC.故选A.
3．解：作图如图所示．
(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BAC＝36°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.
研习预测试题
1．B 依据题意画出图形．
可得知∠1＝∠2，AE＝DE，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，即DE∥AB.故选B.
2．
3．3
4．解：如图，连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OC，EF与OC相交于点P.则点P即为所求．
5．解：如图所示，点C即为所求．
6．解：(1)作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如图所示即是所求．
(2)∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝.
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