第19讲 矩形、菱形和正方形
考纲要求
命题趋势
1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．
2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．
3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.
特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.
知识梳理
一、矩形的性质与判定
1．定义
有一个角是直角的____________是矩形．
2．性质
(1)矩形的四个角都是________．
(2)矩形的对角线________．
(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．
3．判定
(1)有三个角是________的四边形是矩形．
(2)对角线________的平行四边形是矩形．
二、菱形的性质与判定
1．定义
一组邻边相等的__________叫做菱形．
2．性质
(1)菱形的四条边都________．
(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定
(1)对角线互相垂直的________是菱形．
(2)四条边都相等的________是菱形．
三、正方形的性质与判定
1．定义
一组邻边相等的________叫做正方形．
2．性质
(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．
(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．
(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
3．判定
(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．
(2)一组邻边相等的________是正方形．
(3)对角线互相垂直的________是正方形．
(4)有一个角是直角的________是正方形．
(5)对角线相等的________是正方形．
自主测试
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD
的长是( )
A．5 B．5
C．5 D．10
2．在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( )
A．5 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )
A．1 B． C． D．2
4．下列命题中是真命题的是( )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两边相等的平行四边形是菱形
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
考点一、矩形的性质与判定
【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．
解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，
四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO.
又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.
又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.
触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；
(2)AE∥BD.
考点二、菱形的性质与判定
【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长．
分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．
解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD.
∴四边形OCED是菱形．
(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.
又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形．
过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，
设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.
在Rt△DFC中，tan 60°＝，
∴DF＝FC·tan 60°＝x.
由已知菱形OCED的面积为8得OC·DF＝8，即2x·x＝8.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.
方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．
触类旁通2 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
考点三、正方形的性质与判定
【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.
(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.
分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．
解：(1)四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵HA＝EB＝FC＝GD，
∴AE＝BF＝CG＝DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EF＝FG＝GH＝HE.
∴四边形EFGH是菱形．
由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.
∴菱形EFGH是正方形．
(2)1
方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．
1．(2012四川成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
2．(2012山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为( )
A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:1
3．(2012江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2012江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2012贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．
6．(2012山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.
(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；
(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于( )
A．4 B．3
C．4 D．8
5．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是( )
(第5题图)
A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米
6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．
(第6题图)
7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．
(第7题图)
8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．
(第8题图)
9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.
(1)求证：MD＝MN.
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．B 2．C
3．C ∵设AG＝A′G＝x，∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，故选C.
4．C
5．证明：如题图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠EAB＋∠AEB＝90°.
∵∠EOB＝∠AOF＝90°，
∴∠FBC＋∠AEB＝90°.
∴∠EAB＝∠FBC.
∴△ABE≌△BCF.∴BE＝CF.
探究考点方法
触类旁通1．
证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2.
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.
(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，
∴AF＝EF，
∴∠AEB＝∠EAF.
∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，
∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.
触类旁通2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
品鉴经典考题
1．B 因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．
2．C 根据已知可得到菱形的边长为2 cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.
3．B ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.
4．C ∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为4OC＝4×2＝8.
故选C.
5． 如图：
∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB.
∵在△COA和△DOB中，有
∴△COA≌△DOB，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只需OA取最小值即可．
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小．
此时OA＝CF＝1，即AB＝.
6．解：(1)证明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.
又∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF.
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.
∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形．
(2)若四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF于点G，
∴BE⊥CF，FG＝CG.
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝
＝＝5.
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，
∴△ABC∽△BGC.
∴＝，即＝.∴CG＝.∴FC＝2CG＝.
∴AF＝AC－FC＝5－＝.
因此，当AF＝时，四边形BCEF是菱形．
研习预测试题
1．A 2．B 3．D
4．A ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝3.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6.
由折叠性质可知，AE＝AB＝6，BF＝EF，
在Rt△ADE中，AD＝＝3，
∴BC＝3.设CF＝x，BF＝EF＝3－x，
在Rt△CEF中，(3－x)2＝x2＋32，
∴x＝.∴BF＝2.在Rt△ABF中，AF＝4.
5．B 6．22.5° 7．
8．1 在DC上找N点关于AC的对称点N′，连接MN′，则MN′的长即为MP＋NP的最小值，此时MN′＝AD＝1.
9．分析：(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F，构造△MDF≌△NMB；(2)可参照第(1)题的方法．
(1)证明：取AD的中点F，连接MF.
∵M是AB的中点，F是AD的中点，
∴MB＝AM＝AB，DF＝AF＝AD.
∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，∴∠1＝45°，
∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°.
∴∠MBN＝135°.∴∠MBN＝∠DFM.
∵∠DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.
∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°.
∴∠NMB＝∠ADM.
∴△DFM≌△MBN.∴MD＝MN.
(2)解：结论MD＝MN仍成立．
证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF.
由(1)中证法可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，
∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.
微信/支付宝扫码支付