4.4 角
1．角的有关概念
(1)钟面上的时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条相交棱所构成的图形，都给我们以角的形象．
(2)角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形．如图，其中，点O叫做角的顶点，射线OA，OB叫做角的边．这个角可记作∠AOB，读作“角AOB”．∠AOB也可以看成是射线OA绕着点O旋转到OB的位置后形成的图形．射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边．
(3)当角的终边是由始边旋转半周得到的(这时角的始边和终边互为反向延长线)，如图，这样的角叫做平角，1平角=180°.
(4)当角的终边是由始边旋转一周得到的(这时角的始边和终边重合成一条射线，但它不是一条射线)，如图，这样的角叫做周角，一周角=360°.
释疑点 理解角的特征
(1)角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，二者缺一不可；(2)由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；(3)当角的大小一旦确定，它的大小不会因为图形的位置、图形的放大或缩小而改变；(4)平角与直线有区别，平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”，同样不能说“一条射线是周角”；(5)没有特别说明，本书中所指的角都是指小于平角的角．
【例1】 下列说法：①两条射线所组成的图形叫做角；②一条射线旋转而成的图形叫做角；③角的大小与这个角的两边长短有关；④平角是一条直线．其中错误的有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：
①
×
没有说明两条射线是否有公共端点，缺少组成的要素，所以①错误．
②
×
没有说明两条射线是否有公共端点，缺少组成的要素，所以②错误．
③
×
角的两边都是射线，因此角的大小与这个角的两边长短无关，所以③错误．
④
×
平角和一条直线的图形是一样的，但平角和直线是两个不同的概念，所以不能说平角是一条直线，所以④错误.
答案：D
释疑点 概念是识别图形的依据
角的概念是识别一个图形是否是角的主要依据，其他图形的识别也是如此，所以我们要十分重视对概念的正确理解．
2．角的表示方法
(1)用三个大写字母表示：如图，角的顶点为O，角的两边为射线OA，OB，该角可记为：∠AOB或∠BOA(顶点的大写字母写在中间)．
(2)用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可用表示这个点的字母表示这个角，如上图，这个角又可表示为∠O.
(3)用数字表示：如下图中的两个角，我们可以表示为∠1和∠2，同时在原图中，需要在顶点数加上弧线．
(4)用希腊字母表示：如下图中的两个角，我们可以表示为∠α和∠β，同时在原图中，需要在顶点处加上弧线．
释疑点 如何准确地表示角
当以某个字母为顶点的角仅有一个时，才能用表示其顶点的一个大写字母来表示该角．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置上标出字母或数字，并画上弧线．
【例2】 如图，下列表示∠1的方法中，正确的是( )．
A．∠A B．∠ABC
C．∠BAD D．∠BAC
解析：根据角的四种表示方法的规定，只有∠BAC与∠1表示同一个角，因此应选D.
答案：D
3．角的度量
(1)角的度量单位：角的度量单位是度、分、秒．度、分、秒之间的进率是60.
(2)把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一份是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一份是1秒的角，1秒记作1″.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
(3)角度的换算：1°＝60′，1′＝60″.由以上关系式可将度化为度、分、秒的形式，也可将度、分、秒化成度的形式．
析规律 正确进行角的换算
用度、分、秒表示度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒；用度表示度、分、秒时，要先把秒化成分，再把分化成秒；遇到乘法时，先乘再进位，遇到加法时，先加再进位，遇到减法时，先借位再减．
【例3】 解答下列问题：
(1)用度、分、秒表示57.53°；
(2)用度表示36°23′45″；
(3)计算53°25′28″×5；
(4)已知∠α＝32.68°，∠β＝18°41′55″，求∠α－∠β.
解：(1)57.53°＝57°＋0.53×60′
＝57°＋31.8′
＝57°＋31′＋0.8×60″
＝57°＋31′＋48″
＝57°31′48″；
(2)因为45″＝′＝0.75′，
23．75′＝°≈0.396°，
所以36°23′45″≈36.396°；
(3)53°25′28″×5＝265°125′140″＝267°7′20″；
(4)因为∠α＝32.68°＝32°40′48″，
所以∠α－∠β＝32°40′48″－18°41′55″
＝32°39′108″－18°41′55″
＝31°99′108″－18°41′55″
＝13°58′53″.
析规律 角的加减乘除运算
进行角的加减乘除运算，遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．
4．探索角的个数
探索由一个点引出若干条射线组成的角的个数时，可按边分别按逆时针或顺时针的顺序数，先确定以一条边为始边的所有角的个数，再确定以另一条边为始边的所有角的个数，以此类推，再求和可得角的总个数，并利用这一关系求出从一个点出发若干条射线时构成的角的个数的规律．数角时，观察一定要有条理，既要防止重复，又要防止遗漏．
解技巧 从一个顶点出发的n条射线组成的角的个数
一般地，从点O出发引出n条射线，能组成(n－1)个基本角，共有角的个数为(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝.
【例4】 观察下列图形，并阅读相关文字：
从图中的规律能知道从一个点出发10条射线时构成__________个不同的角．
解析：2条射线构成角的个数为1；3条射线构成角的个数为2＋1＝3；4条射线构成角的个数为3＋2＋1＝6；5条射线构成角的个数为4＋3＋2＋1＝10；…；由此可得10条射线构成角的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45.
答案：45
5.钟表盘上角的度量与换算
钟表上的时针与分针如果看作两条射线，不同时刻它们组成的角大小不同，时针与分针不同时间分别旋转过的角的大小各不相同，解决这类问题的关键是判断不同时刻时针与分针的位置以及各自每分钟旋转的角度的大小，然后运用角的定义和度量解决问题．
【例5】 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？
分析：时针和分针每分钟转过的角度如下表所示.
时针
一小时转一小格
一小时转30°
一分钟转0.5°
分针
一小时转一圈
一小时转360°
一分钟转6°
解：因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，
所以分针转过的角度为×(55－30)＝6°×25＝150°，
时针转过的角度为×(55－30)＝150°×＝12.5°.
6．实际问题中的方位角的操作
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体所在的方向．如图所示的是我们常用到的一些方向，但实际上八个方向还不够用，如果要详尽准确地表示每一个方向上的角，就要借助角度来表示．
(1)用射线表示的方位角一般说法是北偏东×度，北偏西×度，南偏东×度，南偏西×度．一般把南、北放在前，但东南、西南、西北、东北例外．
(2)方位角是表示方向的射线与正北、正南方向的夹角，若已知条件给的不是这个角度，则需转化成与正北、正南方向的夹角．
(3)通常规定上北、下南、左西、右东．
【例6】 如图，在一张某地区的地图上，原标有学校、公园和广场三个位置，由于被墨水污染，广场的具体位置已看不清了．根据记忆，广场位置在学校的北偏东60°的方向，在公园的北偏西45°的方向．根据上述信息，请找出广场的具体位置．
分析：根据题意，可知广场在学校的北偏东60°的方向．画图时，应以学校所在地为测点，在此处画出上北下南，左西右东的方向，以正北方向的射线为始边，顺时针旋转60°，则广场的位置就在这条射线上，同理，在公园的位置作一条北偏西45°的射线，这两条射线的交点，即为广场的位置．
解：所画的图形如图所示．
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