4.3 线段的长短比较
1．线段的长短比较
比较线段长短的方法有两种：
(1)叠合法：先把两条线段的一端重合，另一端点落在同一侧，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面进行比较．当两条线段能够放在一起而又不要求知道相差的具体数值时，可用此法．将线段AB放到线段CD上，使点A和点C重合，点B和点D在重合点的同侧．
①如果点B和点D重合，如图，就说线段AB与线段CD相等，记作AB=CD.
②如果点B在线段CD上，如图，就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD.
③如果点B在线段CD外，如图，就说线段AB大于线段CD，记作AB＞CD.
(2)度量法：先分别量出每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的大小，这是从“数”的方面进行比较．当两条线段的长短差别不太明显，而又不便放在一起比较，或需要求出相差的具体数值时，可用此法．
对于线段AB和CD，我们可以用刻度尺分别量出线段AB和CD的长度，数值大的线段较长，数值小的线段较短，数值相等时两线段一样长．
【例1】 如图，已知AB＞CD，则AC与BD的大小关系为( )．
A．AC＞BD B．AC＝BD
C．AC＜BD D．AC和BD的大小不能确定
解析：运用叠合法或度量法直接比较，可以发现AC与BD的大小关系为AC＞BD.
答案：A
2．线段的中点
如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．
中点定义的推理步骤：
(1)∵AC＝CB(已知)，
∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．
(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，
∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．
谈重点 对线段中点的理解
线段的中点在线段上，有且只有1个，它把线段分成两条相等的线段．注意，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，因为点C不一定在线段AB上．
【例2】 如图，已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，BD＝3 cm，求线段AB的长度．
解：∵点D为线段BC的中点，BD＝3 cm，
∴BC＝2BD＝2×3＝6 cm.
∵C点为线段AB的中点，
∴AB＝2BC＝2×6＝12 cm.
∴AB的长度为12 cm.
说方法 线段的中点的应用
由线段的中点这一条件得到的结论，解题过程中不一定全部写出，要根据所求问题灵活选择，一般用哪个写哪个即可．
3．线段的性质
(1)两点之间的所有连线中，线段最短．连接两点是指画出这两点为端点的线段．
(2)两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．它是一个数量．而线段本身是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成是线段AB.
释疑点 线段与线段的长度的区别
“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数量，二者是有区别的，但是为了书写的方便，我们常常用线段的名称表示线段的长度，如AB＝2 cm.
【例3】 进入新世纪，信息技术在社会的各个领域都起着至关重要的作用.2012年某中学开始安装校园网，实现办公楼、教学楼、图书馆、食堂、实验楼的联网，布线工程十分重要．已知这五座建筑物的位置及它们之间的距离，如图(1)所示(图书馆、办公楼、实验楼在同一条直线上，教学楼、办公楼、食堂在同一条直线上)．假如你是布线工程的设计者，你应如何设计线路，才能使线路最短？最短线路的长是多少米？
分析：联想两点之间线段最短去设计．
解：布线设计图如图(2)．
最短线路的长为120＋120＋180＋240＝660(m)．
4．线段的和、差、倍、分的计算
比较线段的大小，形成了线段的和、差关系，学习线段的中点及延长线形成了线段的倍、分关系．在解答有关线段的和、差、倍、分问题时，要从线段中点的定义出发，结合图形，利用线段的和差计算，寻求线段之间的大小关系，灵活运用线段中点的性质．
说方法 计算线段的和、差、倍、分时应注意的问题
一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的先决条件；②观察图形，找出线段间的关系；③线段的和、差、倍、分与线段长度的和、差、倍、分是一致的．其运算方法和顺序结合与有理数运算类似．
【例4】 已知线段AC和BC在一条直线上，如果AC＝5 cm，BC＝3 cm，求线段AC和线段BC的中点间的距离．
解：设AC，BC的中点分别为M，N，
由线段中点定义得AM＝MC＝AC，BN＝CN＝BC.
如图，MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝×8＝4(cm)．
如图，MN＝MC－CN＝AC－BC＝(AC－BC)＝×2＝1(cm)．
5.方程思想在线段计算中的应用
有些已知条件中的关系比较复杂，无法或很难由已知条件直接推导出待求的线段的长度，这时我们可以挖掘隐含条件，引进未知数，然后以线段的和、差、倍、分作为相等关系，构造出方程来解决问题．
说方法 方程思想在线段计算中的应用
当题目提供某一线段长时，我们一般考虑使用含未知数的代数式再表示这条线段的长，即可得到一个方程，从而求出未知数的值．
【例5】 如图，B，C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD中点，CD＝8，求MC的长．
分析：由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，CD＝4x＝8而求得x值，进而求出MC长．
解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，
得BC＝3x，CD＝4x，
∴AD＝(2＋3＋4)x＝9x.
∵CD＝8，∴4x＝8，x＝2.
∴AD＝9x＝18.
∵M是AD中点，
∴MC＝MD－CD＝AD－CD＝×18－8＝1.
6．线段的和、差、倍、分的计算的应用
生活中涉及线段的和、差、倍、分的运算问题比较常见，主要涉及路线、路径问题．解决这类问题的关键是画出线段示意图，将实际问题转化为线段的计算问题．然后运用线段的和、差、倍、分及中点的性质寻找由已知线段推导出未知线段的思维过程，对于这一推理过程较为困难，有时要借助于方程思想方法来解决问题．
解技巧 结合图形解线段应用题
有关线段的计算都是由已知，经过和、差或中点进行转化，求未知线段的过程，因此要结合图形，分析各线段关系，找出它们的联系，通过和、差、倍、分的运算解决．注意学会利用画线段图的方式解决．
【例6】 李红、王明、张江三人的家恰好与学校在一条笔直的街道上．已知李红家到学校的距离是500米，张江家正好在李红与学校的中间，王明家在李红和张江家的中间，那么王明家到学校的距离是多少米？
分析：此题考查学生对线段性质、线段的中点、两点间的距离知识的综合运用．首先要能用画线段图的方式来解决此类问题(如下图)．
解：由题可知：AD＝500米．
因为C是AD的中点，
所以AC＝CD＝AD＝500×＝250.
因为B是AC的中点，
所以BC＝AC＝250×＝125.
王明到学校的距离BD＝BC＋CD＝125＋250＝375.
即王明到学校的距离是375米．
7.线段的性质的应用
两点之间的所有连线中，线段最短，这是线段的重要的性质，其在实际生活和生产中的应用十分广泛．涉及这类问题主要为河道由曲改直等最短路径问题，解决这类问题的关键是根据实际问题中要解决的问题画出恰当几何图形，将实际问题转化为数学问题，然后运用线段的性质来解决．
【例7】 某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线，如图所示，其中路线最短的是( )．
A．从A经过BME到F
B．从A经过线段BE到F
C．从A经过折线BCE到F
D．从A经过折线BCDE到F
解析：本题只需考虑点B到点E之间的距离最短即可．
答案：B
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