4.5 角的比较与补(余)角
1．角的大小比较
(1)叠合法：把一个角放在另一个角上，使两个角的顶点和一边分别重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看见两个角的大小．如果两角的另一边重合，这两个角相等；如果两角的另一边不重合，则这两个角不等，其中一个角的另一边落在另一个角的内部，则这个角比另一个角小，其中一个角的另一边落在另一个角的外部，则这个角比另一个角大．
①先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果OB与ED重合，则表示这两个角相等，如图，记作∠AOB＝∠CED.
②先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的外部，则表示∠AOB小于∠CED，如图，记作∠AOB＜∠CED.
③先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的内部，则表示∠AOB大于∠CED，如图，记作∠AOB＞∠CED.
(2)度量法：用量角器量出角的度数，根据角的度数大小来判定角的大小，度数大的角大，度数小的角小，度数相等时，角相等．即角的大小和它们的度数大小一致．
辨误区 用叠合法比较角的大小时应注意的问题
用叠合法比较角的大小时，一定要将角的另一边落在重合边的同侧．
【例1－1】 已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是( )．
A．∠AOC一定大于∠BOC
B．∠AOC一定小于∠BOC
C．∠AOC一定等于∠BOC
D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC
解析：由题可知射线OC可能在OA这一侧，那么此时∠AOC就小于∠BOC，如果射线OC在OB这一侧，那么∠AOC就大于∠BOC，如果射线OC垂直直线AB，那么∠AOC＝∠BOC＝90°，综合所述∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC.
答案：D
【例1－2】 如图有两块三角板，你能比较∠BAC与∠DEF的大小吗？
分析：可以用特殊值法，通过三角板的特殊值来比较大小；还可以使用叠合法来比较这两个角的大小．
解：能．只要把两块三角板如图那样叠合在一起，就可以比较出∠BAC和∠DEF的大小．
说方法 比较两个角的大小的常用方法
比较两个角的大小，常用的方法是叠合法和测量法两种．一般地，若两个角的大小差别明显，则用叠合法进行验证；若两个角的大小差别不明显，则用测量法进行验证．
2．角的和差关系
角的和、差有几何与代数两种意义，几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
(1)几何意义：设有两个角∠AOB和∠BOC(∠AOB＞∠BOC)，如图所示，把∠BOC移到∠AOB上，使它们的顶点重合，边OB重合，当∠BOC在∠AOB的外部时(如图1)，它们的另两边OA与OC所成的∠AOC就是∠AOB与∠BOC的和，即∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；当∠BOC在∠AOB内部时(如图2)，它们的另两边OA与OC所成的∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，即∠AOC＝∠AOB－∠BOC.
(2)代数意义：已知∠A＝36°，∠B＝60°，那么∠A＋∠B＝36°＋60°＝96°，∠B－∠A＝60°－36°＝24°.即两个角的和、差关系等于两个角的度数的和、差关系．
【例2】 已知一条射线OA，如果从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
解：当OC在∠AOB的内部时，如图(1)，
图(1)
此时∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°.
当OC在∠AOB的外部时，如图(2)，
图(2)
此时∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°.
综上可知，∠AOC的度数为40°或80°.
辨误区 作图题要分类讨论
根据题意画图时，要考虑到所有可能的情况进行分类讨论，防止漏解．
3．角的平分线
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图，OC是从∠AOB的顶点O出发的一条射线，把∠AOB分成两个相等的角，即∠AOC＝∠BOC，则OC叫做∠AOB的平分线．
角平分线定义的推理步骤
(1)角平分线的性质的推理步骤
∵OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC(角平分线的定义)．
(2)角平分线的判断的推理步骤
∵∠AOC＝∠BOC(已知)，
∴OC是∠AOB的平分线(角平分线的定义)．
释疑点 对角的平分线的理解
角的平分线是一条射线，每个角都有且只有一条角平分线，它把这个角分成相等的两个角．
【例3】 如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．
分析：从图形上看，∠BOD＝∠BOC＋∠COD，因为∠BOC＝60°，故只要求出∠COD的度数即可获解，因为OD是∠AOC的平分线，而∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°，故∠COD可求．
解：∵∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°，
OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC＝×30°＝15°.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠COD，
∴∠BOD＝60°＋15°＝75°.
说方法 如何求角的度数
和求线段长一样，求一个角的度数时，我们通常将这个角拆成另外几个易求角度的角的和或者差的形式，通过求出另外几个角达到求这个角的目的．
4．补角与余角的概念
(1)如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角．
即：若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补．
反之，若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝180°.
(2)如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
即：若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余．
反之，若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2＝90°.
谈重点 余角与补角的关系
(1)互余和互补描述的都不是一个角，而是指具有特殊数量关系的两个角，只与两个角的大小有关，与它们的位置无关．
(2)锐角A的余角表示为(90°－∠A)，补角可表示成(180°－∠A)．
(3)两角互为邻补角，它们一定互补，但两角互补，它们不一定为邻补角．
(4)一个锐角的补角比它的余角大90°.
【例4－1】 如图所示，AOB是一条直线，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，问图中互余的角有几对？互补的角有几对？
分析：由互为余角和互为补角的定义，只需找出图中和为90°的两个角以及和为180°的两个角即可．也可令∠1＝x°，则∠2＝90°－x°，∠3＝x°，∠4＝90°－x°，∠BOD＝180°－x°，∠AOE＝90°＋x°.从而判断出互余、互补的角．
解：互余的角：∠1与∠2，∠1与∠4，∠3与∠2，∠3与∠4；
互补的角：∠1与∠BOD，∠3与∠BOD，∠2与∠AOE，∠4与∠AOE.
说方法 表示一个角的余角或补角
可任意设一个角为x°，用含x°的代数式设法表示出其他所有的角，凡是90°－x°的角都与这个角互余，凡是180°－x°的角都与这个角互补．
【例4－2】 一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是( )．
A．60° B．45°
C．30° D．15°
解析：由于一个角和它的补角的和是平角，与它的余角的和是直角，如果设这个角为x°，则它的补角是180°－x°，余角是90°－x°，由题目中所给的数量关系列出方程180°－x°＝3(90°－x°)，所以180°－x°＝270°－3x°，所以x°＝45°.
答案：B
析规律 根据互余和互补求角的度数
根据互余和互补的概念求角的度数的问题，一般设出这个角的度数，用含有这个角的代数式来表示这个角的余角和补角从而得到关于这个角的方程．解方程可解决问题．
5．补角与余角的性质
(1)补角性质：同角(或等角)的补角相等．
若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2＝∠3.
若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4.
(2)余角性质：同角(或等角)的余角相等．
若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2＝∠3.
若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4.
释疑点 进一步理解余角与补角
锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角；如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．
【例5】 如图，∠AOB＝∠COD＝90°，试说明∠AOC＝∠BOD.
解：∵∠AOB＝90°(已知)，
∴∠AOC＋∠BOC＝∠AOB＝90°(角的和差)．
∵∠COD＝90°(已知)，
∴∠BOD＋∠BOC＝∠COD＝90°(角的和差)．
∴∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．
析规律 根据互余、互补判断两角的相等关系
当题目中的角有互补互余的关系时，判断两个角的相等关系通常运用等角的余角相等；等角的补角相等来解决．
6．角的计算与证明
角的和、差关系，角平分线及性质，余角、补角及其性质是进行角的计算与证明的基础，熟练掌握这些知识及其推理的基本步骤是关键．在解决具体问题时要结合图形，观察角与角之间的关系，并运用这些关系与性质来解决问题．
析规律 根据角平分线的性质进行角的运算
结合图形和角的平分线的性质判定角的和、差、倍、分的关系，并运用这一关系解决问题，体现了数形结合思想及方程思想．
【例6】 如图所示，一副三角尺的两个直角顶点O重叠在一起．
(1)比较∠AOC与∠BOD的大小，并说明理由．
(2)∠AOD与∠BOC的和是多少度？
解：(1)∠AOC与∠BOD相等，
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD.
(2)∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，
∴∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.
7.角平分线的性质的综合运用
折叠问题是几何中常见的问题，折叠过程中，角的大小不变．解决这类问题时，常与角的平分线，平角、周角的大小的关系，角的和差关系结合起来探求解决问题的思路．
析规律 折叠问题的解法
结合折叠问题画出图形，结合图形，并根据角的和、差、倍、分的关系来寻找未知角与已知角之间的关系，并通过正确的推理求出未知角．
【例7】 如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在F处，BC为折痕，BD为∠EBF的平分线，求∠CBD的度数．
解：由折叠的性质可知，∠CBF＝∠CBA.
由角平分线的性质可知，∠DBF＝∠DBE.
∵∠DBF＋∠DBE＋∠CBF＋∠CBA＝180°，
∴2∠CBF＋2∠FBD＝180°.
∴∠CBD＝90°.
8．角的比较与测量的应用
比较角的大小有两种常用的方法：一是叠合法；二是度量法．叠合法简单易行，方便操作；度量法需要测量工具，虽然比较精确，但会与标准有差距．角的比较与测量的实际应用比较广泛，主要应用于产品尺寸的质检和测绘等方面，解决这类问题要结合实际问题中的要求采用合适的方法来解决．
说方法 估测角的大小
对要求不高的或精确度不高的也可用估测法：直接通过观察的方法，比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别较大或要求不高的角的大小的比较．利用余角和补角的定义解决实际问题．
【例8】 在某工厂生产流水线上生产如图所示的零件，其中∠α称为工件的中心角，生产要求∠α的标准角度为30°±1°，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量∠α的度数．请你运用你所学的知识分析一下，该名质检员采用的哪种比较方法？你还能给该质检员设计较好的质检方法吗？请说说你的方法．
分析：角的比较方法有两种，测量法和叠合法，测量具体，而叠合更直观，在检验中，采用叠合的方法比较快捷．
解：该质检员采用的是测量法．还可以使用叠合法，即在工作中找一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件，然后可把几个工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况．
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