直线与圆、圆与圆的位置关系
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d<r
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量化
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d <r1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
解析:选B 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=,0<d<,故该直线与圆相交但不过圆心.
2.(2012·银川质检)由直线y=x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A. B.2
C.3 D.
解析:选A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,则圆心(3,0)到直线y=x+1的距离为=2,切线长的最小值为=.
3.直线x-y+1=0与圆x2+y2=r2相交于A,B两点,且AB的长为2,则圆的半径为
( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选B 圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=.则r2=2+d2=,r=.
4.(教材习题改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
解析:由题意知 >1,解得-<k<.
答案:(-, )
5.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.
解析:两圆相减即得x-2y+4=0.
答案:x-2y+4=0
1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.
2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.
直线与圆的位置关系的判断
典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得
32+02-4×3=9-12=-30,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A,B,则|AB|= =≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.
5.(2013·兰州模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为( )
A.(+1,+∞) B.(-1, +1)
C.(0, -1) D.(0, +1)
解析:选A 计算得圆心到直线l的距离为= >1,如图.直线l:x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离 +1.
6.(2013·临沂模拟)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A. B.
C.2 D.2
解析:选D 圆心C(0,1)到l的距离d=,
所以四边形面积的最小值为2×=2,
解得k2=4,即k=±2.
又k>0,即k=2.
7.(2012·朝阳高三期末)设直线x-my-1=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则实数m的值是________.
解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x-my-1=0的距离d==1,即=1,解得m=±.
答案:±
8.(2012·东北三校联考)若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边),则圆C:x2+y2=4被直线l:ax+by+c=0所截得的弦长为________.
解析:由题意可知圆C:x2+y2=4被直线l:ax+by+c=0所截得的弦长为2 ,由于a2+b2=c2,所以所求弦长为2.
答案:2
9.(2012·江西高考)过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.
解析:∵点P在直线x+y-2=0上,∴可设点P(x0,-x0+2),且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°,∴∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有OP=2OM=2.由两点间的距离公式得OP= =2,解得x0=.故点P的坐标是( , ).
答案:( , )
10.(2012·福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点.
(1)若|AB|=,求|MQ|及直线MQ的方程;
(2)求证:直线AB恒过定点.
解:(1)设直线MQ交AB于点P,则|AP|=,又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,得|MP|= =,
又∵|MQ|=,∴|MQ|=3.
设Q(x,0),而点M(0,2),由=3,得x=±,
则Q点的坐标为(,0)或(-,0).
从而直线MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.
(2)证明:设点Q(q,0),由几何性质,可知A,B两点在以QM为直径的圆上,此圆的方程为x(x-q)+y(y-2)=0,而线段AB是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB的方程为qx-2y+3=0,所以直线AB恒过定点.
11.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.
解:(1)证明:由题设知,圆C的方程为
(x-t)2+2=t2+,
化简得x2-2tx+y2-y=0,
当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);
当x=0时,y=0或,则B,
所以S△AOB=|OA|·|OB|
=|2t|·=4为定值.
(2)∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率
k===,∴t=2或t=-2.
∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2),且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为Q(6,0).过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2,代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,解得-