1.6有理数的乘方例题与讲解(2013-2014年沪科版七年级上).doc

1.6 有理数的乘方 1．有理数的乘方的意义及有关名称 (1)一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作 an，即 ，这种求 n 个相 同因数的积的运算叫做乘方． (2)幂：乘方的结果叫做幂． 在乘方运算 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 叫做幂，即(如图)． (3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结 果．也就是说，an 既表示 n 个 a 相乘，又表示 n 个 a 相乘的结果． (4)an 看作乘方运算时，读作 a 的 n 次方；当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，读作 a 的 n 次幂． 如 34 中，底数是 3，指数是 4，读作 3 的 4 次方或 3 的 4 次幂．又如(－3)4 中，底数是 －3，指数是 4，读作－3 的 4 次方或－3 的 4 次幂． (5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5 就是 51,51 就是 5，指数 1 通常省略不 写． (6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来．如(－1)2， 21 2      分别表示(－1)×(－ 1)，1 2 ×1 2. 【例 1】 把下列式子写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么？ (1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)； (2)2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ； (3) 分析：5 个－3.14 相乘，写成(－3.14)5,6 个2 5 相乘可写成 2 5 6,2n 个 m 相乘，写成 m2n. 解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14， 指数是 5. (2)2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ×2 5 ＝ 2 5 6，其中底数是2 5 ，指数是 6. (3) ＝m2n，其中底数是 m，指数是 2n. 2.有理数的乘方的运算法则 (1)乘方运算的符号法则 乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能得出乘方运算的符号法则： 正数的任何次乘方都取正号，负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号． (2)乘方的运算步骤 非零有理数的乘方，先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号，再将其绝对值乘方； 即：①根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号；②计算绝对值的乘方． 乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算． 如，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81(不是－3 和 4 相乘)．(－2 3 2)＝(－2 3)×(－2 3 )＝4 9. (3)几点注意 ①－an 与(－a)n 的意义完全不同，－an 表示 an 的相反数，(－a)n 表示 n 个－a 相乘．如 －14＝－(1×1×1×1)＝－1，底数是 1；(－1)4＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝1，底数是－ 1. ②当底数是带分数时，必须先化为假分数，再进行乘方计算．如， (－12 3)2＝(－5 3)2＝(－5 3)×(－5 3)＝25 9 . ③若一个有理数的平方(可推广到偶次方)等于它本身，那么这个有理数是 0 或 1. ④若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身，那么这个有理数是 0 或±1. ⑤0 的正数次方是 0. 【例 2】 计算：(1)(－3)4；(2)－34； (3) －3 4 3；(4)－33 4 ；(5)(－1)101； (6)( 11 2 3). 分析：(1)(－3)4 表示 4 个－3 相乘；(2)－34 表示 34 的相反数，即－34＝－(3×3×3×3)； (3) －3 4 3 表示 3 个－3 4 相乘；(4)－33 4 表示 33 除以 4 的商的相反数；(5)(－1)101 表示 101 个－1 相乘，(－1)101＝－1，在进行乘方运算时，首先根据符号法则确定符号，然后再计算绝对值， 幂的绝对值等于底数绝对值的乘方；(6)底数是带分数，乘方时要先把带分数化成假分数． 解：(1)(－3)4＝＋(3×3×3×3)＝81； (2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81； (3) －3 4 3＝－(3 4 ×3 4 ×3 4)＝－27 64 ； (4)－33 4 ＝－3×3×3 4 ＝－27 4 ； (5)(－1)101＝ ＝－1； (6)( 11 2)3＝(3 2 3)＝27 8 . 3．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算 (1)有理数的运算，加减叫第一级运算，乘除叫第二级运算，乘方、开方(以后再学)叫第 三级运算． (2)有理数混合运算的顺序 ①先乘方，再乘除，后加减． ②同级运算，按照从左到右的顺序进行． ③如果有括号，先做括号里的运算(括号的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号 里的，最后算大括号里的)． (3)在进行有理数混合运算时，除遵循以上原则外，还要根据具体的题目的特点，灵活 使用运算律，使运算准确而快捷． 【例 3】 计算：(1)3＋50÷22× －1 5 －1； (2) 2 3 3 4 1 21 1 15 9 6 5                               . 分析：(1)先算乘方，再把除法转化为乘法，计算乘除运算，最后算加减；(2)此题运算 顺序是：第一步计算(1－4 9)和(1－1 6)；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法．解：(1)原式＝3＋50÷4× －1 5 －1 ＝3＋50×1 4 × －1 5 －1 ＝3－50×1 4 ×1 5 －1 ＝3－5 2 －1 ＝－1 2. (2)原式＝(8 5 ×5 9 2)÷ 3 5 2 6 5         ＝(8 9)2÷ －1 3 3 ＝64 81 ×(－27) ＝－64 3 . 4．科学记数法 (1)大数的表示方法 在日常生活中我们会遇到一些特别大的数，这些数在读、写、算时都不方便，于是用如 下的简洁方法来表示这些较大的数： ①用更大的数量级来表示； ②根据 10n 的特点，来表示这些较大的数． (2)科学记数法的概念 一般地，一个绝对值大于 10 的数都可记成±a×10n 的形式，其中 1≤a＜10，n 等于原数 的整数位数减 1，这种记数方法叫做科学记数法． (3)大于 10 的数用科学记数法表示时，a，n 的确定方法： ①10 的指数 n 比原数的整数位数少 1，用科学记数法表示大于 10 的数，只要先数一下 原数的整数位数即可求出 10 的指数 n.a 是整数位数只有一位的数．例如：341 257.31 的整数 位数是 6，则 n＝6－1＝5，所以用科学记数法表示为 3.412 573 1×105. ②将原数的小数点从右向左移动，一直移到最高位的后面(即保留一位整数)，这时得到 的数就是 a，小数点移动的位数就是 n，如 1 300 000 000 人＝1.3×109 人，38 万千米＝380 000 千米＝3.8×105 千米． 辨误区 用科学记数法时应注意的几点 (1)不要误认为 a 就是零前面的数，如误把 426 000 记作 426×103. (2)n 等于原数的整数位数减 1.不要误认为 n 就是该数后面零的个数． (3)a 是整数位数只有一位的数．如果原数是负数，负数前面的“－”号不能丢． 【例 4】 用科学记数法表示下列各数： (1)687 000 000；(2)5 000 000 000；(3)－367 000. 分析：(1)把 687 000 000 写成 a×10n 时，a＝6.87，它是将原数的小数点向左移动 8 位 得到的，即 n＝8，所以 687 000 000＝6.87×108；(2)把 5 000 000 000 写成 a×10n 时，a＝5， 它是将原来的小数点向左移动 9 位得到的，即 n＝9，所以 5 000 000 000＝5×109；(3)把－ 367 000 写成 a×10n 时，a＝－3.67，它是将原来的绝对值的小数点向左移动 5 位得到的，即 n＝5， 所以－367 000＝－3.67×105. 解：(1)687 000 000＝6.87×108； (2)5 000 000 000＝5×109； (3)－367 000＝－3.67×105.5．有理数乘方的运算 有理数乘方运算的步骤：确定幂的符号；计算幂的绝对值． 有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 在幂的形式中，底数是因数，指数是相同因数的个数．因此有理数的乘方运算可以转化 为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化 为乘法，来计算幂的绝对值，最后得出幂的结果． 例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”，再计算 53＝125，即(－5)3＝－125. 正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错． 【例 5－1】 计算： (1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3. 分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数 的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结 果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数． 解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27； (2)(－2)2＝4； (3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216； (4)－(－2)3＝－(－8)＝8. 辨误区 进行乘方运算时应注意的问题 在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－ (3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的． 【例 5－2】 计算(－0.25)10×412 的值． 分析：直接求(－0.25)10 和 412 比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示 10 个 0.25 相乘，而 412 表示 12 个 4 相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较 容易求出结果了． 解：(－0.25)10×412＝0.2510×412 ＝(0.2510×410)×42＝(0.25×4)10×42 ＝1×16＝16. 6.写出用科学记数法表示的原数 把用科学记数法表示的数±a×10n“还原”成原数，原数的整数位数等于 n＋1；原数等 于把 a 的小数点向右移动 n 位所得的数，若向右移动位数不够，应用 0 补上数位． 谈重点 科学记数法的误区 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法表示的数还原是两个互逆的 过程， 这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【例 6】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)3×104；(2)2.25×105；(3)－6.32×103；(4)赤道长约 4×104 千米；(5)按 365 天计算一 年有 3.153 6×107 秒． 分析：将科学记数法 a×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 a 的小数点 向右移动 n 位所得到的数．也可以先把 10n 化成通常表示的数，再与 a 相乘即可，但转化时 要注意 1 后面 0 的个数就是 n. 解：(1)3×104＝3×10 000＝30 000； (2)2.25×105＝2.25×100 000＝225 000； (3)－6.32×103＝－6.32×1 000＝－6 320； (4)4×104 千米＝40 000 千米； (5)3.153 6×107 秒＝31 536 000 秒． 7.有理数运算中的技巧 运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行． 在进行有理数的运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律 和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，起到事半功倍的奇效．对于较复杂的计算问题，计算时不要急于下手，应该先整体观察，分析算式的结构特征 和各数之间的关系，寻找简捷的解题途径，进行合理、快速的运算． 在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除．乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可 以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写成整数与真分数和的形式，如－19 8 ＝－2 －3 8 ，而将－3 8 化成－ 6 16 ，因而避免把－19 8 化为－38 16 ，也可以简化运算． 解技巧 有理数的混合运算 在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律．分数、小数的 乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化成假分数．含有多重括号时，去括号的一般 方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符 号． 【例 7】 计算：(1)－3216 25÷(－8×4)＋2.52＋(1 2 ＋2 3 －3 4 －11 12)×24； (2)11 2÷3 4÷(－2)＋1 2÷ 2 21 112 2                ×|－91 2|－0.752. 分析：(1)此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，把－32 16 25 化成假 分数，可以写成(－32－16 25)的形式，而(1 2 ＋2 3 －3 4 －11 12)×24，若用分配律又较为方便．(2)在运 算的同时把前两个除法转化为乘法．去掉绝对值、把小数转化为分数，然后进一步计算即可． 解：(1)－3216 25÷(－8×4)＋2.52＋ 1 2 3 11 2 3 4 12       ×24 ＝(－32－16 25)×(－ 1 32)＋6.25＋12＋16－18－22 ＝1＋ 1 50 ＋6.25－12＝1.02＋6.25－12＝－4.73. (2)11 2÷3 4÷(－2)＋1 2÷ 2 21 112 2                ×|－91 2|－0.752 ＝3 2 ×4 3 ×(－1 2)＋1 2÷(1 4 －9 4)×19 2 － 9 16 ＝－1＋1 2 ×(－1 2 )×19 2 － 9 16 ＝－1－19 8 － 9 16 ＝－1－2－ 6 16 － 9 16 ＝－315 16. 8．有理数乘方运算的应用 有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了 极大的方便． 比如，一层楼高约 3 米，一张纸的厚度只有 0.1 毫米，0.1 毫米与 3 米相比几乎可以忽 略不计，如果我们将纸对折、再对 折，如此这样对折 20 次后，其厚度将比 30 层楼房还要 高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用． 【例 8】 据科学家测算，用 1 吨废纸造出的再生好纸相当于 0.3～0.4 亩森林木材的造 纸量．某市今年大约有 6.7×104 名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有 12 千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，则至少可使森林免遭砍伐的亩数为__________(用 科学记数法表示)． 解析：本题可分步计算出废纸回收的数量，再算出因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩 数： 废纸回收的数量：6.7×104×12＝8.04×105(千克)＝804(吨)； 因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是 804×0.3＝241.2(亩)，用科学记数法表示为 2.412×102 亩． 答案：2.412×102 9.利用乘方解决规律性问题 乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三 种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律．②乘方运算中的数或数列 的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，….③等式运算中的规律性变化，如： 12－02＝1,22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还 伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．由 特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与 顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出 正确结论． 与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种： (1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如 3n 的个位数字是 3,9,7,1,3,9,7,1，…依次 循环； (2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用 2n 或 1 2 n 求解． 【例 9－1】 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过 观察，用你所发现的规律确定 227 的个位数字是( )． A．2 B．4 C．6 D．8 解析：观察式子的变化发现，从 2 的 1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以 2,4,8,6,2,4，… 循环，所以每四次一循环，而 27÷4＝6 余 3，所以 227 的个位数字是 8，故选 D. 答案：D 【例 9－2】 观察下列各式：1＝1＝12,1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16 ＝42，….请猜想前 15 个奇数的和是__________． 解析：1 个奇数等于 12，前 2 个奇数的和等于 22，前 3 个奇数的和等于 32，…，猜想前 15 个奇数的和是 152. 答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225 【例 9－3】 观察下面一列数：2,5,10，x,26,37,50，65，…，根据规律，其中 x 表示的 数是__________． 解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序号的平方加 1，即 2＝12＋1,5＝22＋1,10 ＝32＋1，…，所以它们的排列规律是 n2＋1，所以 x＝42＋1，所以 x＝17. 答案：17 【例 9－4】 一张厚度是 0.1 毫米的纸，将它对折 1 次后，厚度为 2×0.1 毫米． (1)对折 2 次后，厚度为多少毫米？ (2)对折 20 次后，厚度为多少毫米？ 分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对 折两次后厚度为 4×0.1＝22×0.1 毫米，对折 3 次后厚度变为 8×0.1＝23×0.1 毫米，对折 4 次是 16×0.1＝24×0.1 毫米，对折 5 次是 32×0.1＝25×0.1 毫米……，从中探寻规律，解答 问题． 解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)． (2)对折 20 次后，厚度为(220×0.1)毫米．