姓名： 班级： 成绩：
13.1 轴对称学案(一)
（一）、预习课本P58---P60，完成下面的习题
（二）、概念：
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫做 。这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线 。
（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成 。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。
（3）轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？
区别: 轴对称是说 个图形的位置关系,
轴对称图形是说 个具有特殊形状的图形。
联系：都能沿着某条直线 。这条直线是对称轴。
（三）、思考：
（1）成轴对称的两个图形全等吗?全等的两个图形一定成轴对称吗？
（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成 ；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个 图形．
（四）、练一练：
1、标出下列图形中的对称点
2、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找画它们的对称轴，并找出一对对称点．
3．等腰三角形的对称轴有（ ）
A、1条 B、3条 C、1条或3条 D、无数条
姓名： 班级： 成绩：
4．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
5. 下列图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
A、N B、S C、L D、E
7．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A、 B、 C、 D、
8．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（ ），折痕所在的直线叫做（ ）。
9．在对称图形中，对称轴两侧相对应的点到对称轴的（ ）。
10．（ ）三角形有三条对称轴，（ ）三角形有一条对称轴。
11．正方形有（ ）条对称轴，长方形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对称轴。
12．判断。
①．通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。 ( )
②．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴。（ ）
③.等腰梯形是对称图形。 ( )
④.正方形只有一条对称轴。 ( )
13.请写出下列图形的对称轴的条数
① 等边三角形 ② 正方形 ③ 圆
④ 长方形 ⑤平行四边形 ⑥正六边形
14．当写着数字的纸条垂直于镜面摆放时（如图所示）：
下面是从镜子中看到的数： ，它实际上是________________
16．作图题，画下面图形的对称轴．
姓名： 班级： 成绩：
13.1.2FF线段垂直平分线性质定理
一、知识链接：
如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段
分别是 ，CD= ， ∠CBA= ，∠ADC=
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
二、预习课本P61---P62，完成下面的习题
探究点一 ： 线段垂直平分线性质定理
O
B
A
P3
P1
P2
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
l
离之间的数量关系并证明你的猜想
猜想：
已知： 直线l垂直平分_____,垂足为O，
点C在直线l上
求证：AC=________
证明:
C
线段垂直平分线性质定理:
几何语言： ∵
∴
跟踪训练： 如右图所示，直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和 PC相等吗?为什么?
姓名： 班级： 成绩：
三、探究点二 ： 线段垂直平分线判定定理
你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？
小帅同学为验证逆命题已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
已知： _______=_______
求证：_____在AB的______________线上
P
A B
判定定理：
几何语言： ∵
∴
四、练习题：
1.点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（ ）
A． PB=PC B. PA=PC
C. PA=PB D. 点P到∠ABC的两边距离相等
2．下列说法错误的是（ ）
A. D.E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE
B． 若AD=BD，AE=BE，则线段DE是线段AB的垂直平分线
B
A
C
D
E
C． 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D. 若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，
AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
5：已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥FA ，ED⊥FB ，
D
E
C
B
A
F
垂足分别为C、D．求证： FE是CD的垂直平分线
姓名： 班级： 成绩：
13.1.2 FF线段垂直平分线（2）
è复习巩固
1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在
三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，
则超市应建在（ ）
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在A、B两内角平分线的交点处
2、作∠AOB的角平分线
A
O
B
预习课本P62---P63，完成下面的习题
è问题导读：
1. 如何作线段的垂直平分线？____________________________________
2. 如何过直线外一点作这条直线的垂线？____________________________________
探究一：作已知直线的垂直平分线
已知：______________________
求作：_________________ A B
作法：_________________
探究二：过直线外一点作这条直线的垂线
已知：______________________ . P
求作：_____________________ A B
作法：______________________
跟踪训练：你能作出五角星的一条对称轴吗？
姓名： 班级： 成绩：
练一练：1、在直线l上找一点P到点A、点B距离相等，保留作图痕迹。
B·
A·
l
1. △ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，
E
D
C
B
A
AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
3.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大
学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所
大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
N·
M·
B
O
A
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中
画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
（提示：作AB的垂直平分线MN，交
AB、BC于分别于M、N，连接AF）
13.2 FF画轴对称图形（1）
姓名： 班级： 成绩：
一、知识链接：预习课本P62---P63，完成下面的习题
1、如图：你能做出它关于虚线的对称图形吗？
（1）找到点A的对称点A′
(2) A A′与对称轴有什么关系？
（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还有上述关系吗？
归纳：连接任意一对对称点的线段被对称轴____________
二、预习自测：
如图，已知点A和直线l，试画出点C关于直线AB的对称点C′。
请说说你的画法 A
C·
B
三、探究点1：画已知图形的轴对称图形
作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′
画法：
跟踪训练：请画出三角形关于直线l对称的图形 1
A
C
B
四.探究点二：找对称轴
已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线EF，并画出△ABC
姓名： 班级： 成绩：
关于直线EF的对称图形。
A . A′
B
C
练一练：
1.为学校运动会设计一徽标，要求贴近学生生活，突出运动主题，
要求是轴对称图案。
2、把下列图形补成关于对称的图形。新 课 标 第 一 网
3、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是 。
4、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．
五.作业：请你完成32到33页的练习
六、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
12.2 FF画轴对称图形（2）
一、知识链接：：预习课本P62---P63，完成下面的习题
姓名： 班级： 成绩：
B
C
A
1、如图，在平面直角坐标系中，分别标出点A、B、C点的坐标。
二、探究点一：点关于x轴对称
(1)在坐标系中标出点A、B、C 关于x轴的对称点A1 、 B1、C1
(2)写出它们的坐标________________________________________________
（3）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
归纳：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.
跟踪训练：
点（3，6）、（－7，9）关于x轴的对称点分别是什么？
________________________________________________
三、探究点二：点关于y轴对称
(1)在坐标系中标出点A、B、C关于y轴的对称点A2、 B2、C2
(2)写出它们的坐标_____________________________________
（3）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
归纳：在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,纵坐标_________________。点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.
跟踪训练：
1、点（－3，－5）、（0，10）关于y轴的对称点分别是什么？
__________________________________________________________________________
2、完成下表.
已知点
(2,-3)
(-1,2)
(-6,-5)
(0,-1.6)
(4,0)
姓名： 班级： 成绩：
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
3、点（－１，３）与点（－１，—3）关于_________对称；
点（2，—4）与点（－2，—4）关于_________对称；
4、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，
作出△ABC关于y轴对称的图形。
四、当堂检测
1.横坐标相同、纵坐标相反的两点，________________；
横坐标相反、纵坐标相同的两点，________________。
2、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积.
（3）若与△ABC关于x轴对称，写出、、的坐标.
3、根据下列点的坐标，判断它们是关于X轴对称还是关于Y轴对称。
⑴ （－1，3）和（1，－3）关于______________对称
⑵ （－5，－4）和 （- 5，4）关于______________对称
⑶ （3，4）和 （-3，4）关于______________对称
⑷ （1，6）和（1，-6）关于_____________对称
4、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
5、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy=_______。
6、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
7、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
8.请完成《课堂作业》第33到34页的练习
9预习了本堂课，写一写你学到的知识，说在你的心得体会
13.3.1 FF等腰三角形（1）
预习自测：预习课本P75-P76，完成下面的习题
姓名： 班级： 成绩：
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A圆 B长方形 C线段D三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，
另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，
标出各部分名称
探究点一：等腰三角形的性质
1、探究：教材P75
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，
A
填入下表
重合的线段
重合的角
C
B
D
C
B
D
（图1）
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ” ）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。（简写成“ ” ）
3、 根据图1 请你证明等腰三角形的性质1
跟踪训练：
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的两条边分别是5cm、8cm，则它的周长是
2. 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数．
姓名： 班级： 成绩：
3 已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 。
4 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为 。
5 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
6如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
F
E
A
D
B
C
x
求∠A的度数
7如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
E
D
C
B
A
M
8、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M
求证：CM=DM
13.3.1 FF等腰三角形（2）
预习自测：预习课本P77—78页完成下面的练习题
1、等腰三角形的两边长分别为4，8，则周长为
姓名： 班级： 成绩：
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
5、如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若AD平分∠BAC，那么 、
（2）若BD＝CD，那么 、
（3）若AD⊥BC,那么 、
探究点一：等腰三角形的判定
1、思考：（1）如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当
测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点
（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B求证：AO=AO
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ）
跟踪训练：
1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD．
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，
求证：OC=OD
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，
D
C
B
A
E
D
C
B
A
且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形共有（ ）个。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
姓名： 班级： 成绩：
4、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
5求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这
个三角形是等腰三角形．
6、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作
A
C
B
F
E
O
EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F
求证：EF=EB+FC.
如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．证明
△OAE≌△OBE
13.3.2 FF等边三角形（1）
预习自测：预习课本P79到80页完成下面的练习
1、等腰三角形的性质：
姓名： 班级： 成绩：
（1）等腰三角形的 相等
（2）等腰三角形 、 、 互相重合
2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，
即 叫等边三角形。
探究点一：等边三角形的性质
1、思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到
等边三角形，能得到什么结论？
2、归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的
探究二：等边三角形的判定
1、思考：（1）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知： A
求证：
证明：
B C
2、归纳
等边三角形的判定：
练一练：
1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥
姓名： 班级： 成绩：
BC，交AB，AC于D，E。
求证△ADE是等边三角形。
2、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，
求证：△DEF是等边三角形
3如图，在等边中，点分别在边上，且，与交
于点．（1）求证：；（2）求的度数．
4、如图，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．证明=．
Q
C
P
A
B
13.3.2 FF直角三角形
姓名： 班级： 成绩：
一、知识链接：预习课本P81页完成下面的练习题
1、等边三角形的性质：
2、等边三角形的判定：
二.探究点一：
1. 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样
的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2. 由1你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有
怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°求证：BC=AB．
由2，我们得到下面的性质定理：
________________________________________________________
几何语言： ∵∠C=90o，∠A=30o
∴BC= ( )
跟踪训练：
1、 点D是AB的中点， BC、DE垂直于AC垂足分别为C、E， AB=8m，∠A=30°，
求BC、DE各多长？
1、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=
姓名： 班级： 成绩：
∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD?
2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
AB=4 cm，求BD的长度
4. A
例题：如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,
如果∠C＝90°，∠A＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
B
C
A
图（5）
5习了本堂课，写一写你学到的知识，说在你的心得体会
第十三章 轴对称复习练习题
1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______．
姓名： 班级： 成绩：
2．下列10个汉字：林 上 下 目 王 田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________．
3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．
4．等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______．
5. 在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于 y轴对称的点的坐标为 ．，点P（－2，1）关于 x轴对称的点的坐标为是 ．
6．如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么 。
7、如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为 ．
8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM的度数为________．
9.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________．
N
M
E
F
C
B
A
D
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二、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
3．如图3，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
4．如图4所示,Rt△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC=AE=BE B．AD=BD C．CD=DE D．AC=BD
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
A．30o B．40o C．45o D．36o
6．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC
姓名： 班级： 成绩：
于点E，则△BEC的周长为（ ）
A
D
E
B C
A．13 B．14 C．15 D．16
A
B
M
C
N
O
图3
图4
A
C
B
D
E
7．如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ）
A． B． C． D．
8、如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
1．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是 .
2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。
（1）写出点A的坐标 , B的坐标 .
（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。
）。
4．如图，在等边中，点分别在边上，且，与交
于点．（1）求证：；（2）求的度数．
姓名： 班级： 成绩：
5．如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．
6. 如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长。
A
C
B
D
E
7、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
8.已知：如图所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为
姓名： 班级： 成绩：
的中点．
C
E
N
D
A
B
M
求证：①；②是等腰三角形．
O
A
B
E
C
F
9、如图，在⊿ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长．
10、已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．
图
11、已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
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