3.1 一元一次方程及其解法
1．一元一次方程
(1)一元一次方程的概念
只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．
解技巧 正确判断一元一次方程
判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．
(2)方程的解
①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．
②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．
如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．
(3)解方程
求方程的解的过程叫做解方程．
方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．
【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．
A．S＝ab；B.x－y＝0；C.x＝0；D.＝1；E.3－1＝2；F.4y－5＝1；G.2x2＋2x＋1＝0；H.x＋2.
解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．
答案：CF
【例1－2】 x＝－3是下列方程( )的解．
A．－5(x－1)＝－4(x－2) B．4x＋2＝1
C．x＋5＝5 D．－3x－1＝0
解析：对于选项A，把x＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x＝－3是方程－5(x－1)＝－4(x－2)的解；对于选项B，把x＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x＝－3不是方程4x＋2＝1的解，选项C，D按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A的左右两边相等，故应选A.
答案：A
2．等式的基本性质
(1)等式的基本性质
①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
用式子形式表示为：
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式．
用式子形式表示为：
如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)．
③性质3：如果a＝b，那么b＝a.(对称性)
如由－8＝y，得y＝－8.
④性质4：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性)
如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°.
(2)等量代换
在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．
谈重点 应用不等式的性质的注意事项
(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．
(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．
(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．
【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．
A．若4y＋2＝3y－1，则y＝1 B．若7a＝5，则a＝
C．若＝0，则x＝2 D．若－1＝1，则x－6＝1
解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．
A根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y＋2，左边是y，右边是－3，不是1；C根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a＝.
答案：B
【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：
(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.
分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.
解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.
方程的两边同时除以5，得x＝4.
(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.
方程的两边同时加上2，得2x＝2.
方程的两边同时除以2，得x＝1.
(3)方程两边都同时减去1，
得x＋1－1＝6－1，
∴x＝6－1.
∴x＝5.
(4)方程两边都加上x，
得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，
方程两边都减去7，
得3－7＝7＋x－7，
∴－4＝x，即x＝－4.
3.解一元一次方程
(1)移项
①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．
因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.
②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．
③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x
＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.
④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．
辨误区 移项时应注意的问题
在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．
(2)解一元一次方程的步骤
解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：
变形名称
具体做法
变形依据
注意事项
去分母
方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数
等式的基本性质2
不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号
去括号
可由小到大，或由大到小去括号
分配律；去括号的法则
不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号
移项
移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边
等式的基本性质1
移项要变号
合并同类项
将方程化为ax＝b的最简形式
合并同类项的法则
只将系数相加，字母及其指数不变
化系数为1
方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数
等式的基本性质2
分子、分母不能颠倒
解技巧 巧解一元一次方程
值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．
【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )．
A．由2x＝4，得x＝2
B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋x
C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9
解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，则b＝a”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.
答案：C
【例3－2】 解方程－5＝.
分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.
解：去分母，方程两边都乘以12，
得4(2－x)－60＝3(x－1)．
去括号，得8－4x－60＝3x－3.
移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.
合并同类项，得－7x＝49.
两边同除以－7，得x＝－7.
4．解复杂的一元一次方程
解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个已知数)．
(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．
(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．
【例4】 解方程－＝.
分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以10，变为，在式子的分子、分母中都乘以100，变为，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．
解：分母整数化，得
－＝.
去分母，得
6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．
去括号，得
24x－540－15x＋75＝30＋20x.
移项，得
24x－15x－20x＝540－75＋30.
合并同类项，得
－11x＝495.
两边同除以－11，得
x＝－45.
5.与一元一次方程的解相关的问题
方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．
(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．
(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．
【例5－1】 关于x的方程3x＋5＝0与3x＋3k＝1的解相同，则k＝( )．
A．－2 B． C．2 D．－
解析：解方程3x＋5＝0，得x＝－.
将x＝－代入方程3x＋3k＝1，
得－5＋3k＝1，解得k＝2，故应选C.
答案：C
【例5－2】 若关于x的方程(m－6)x＝m－4的解为x＝2，则m＝__________.
解析：把x＝2代入方程(m－6)x＝m－4，
得(m－6)×2＝m－4，解得m＝8.
答案：8
6.一元一次方程的常用解题策略
我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．
(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．
(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．
有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．
【例6－1】 解方程＝x＋1.
分析：注意到×＝1，把乘以中括号的每一项，则可先去中括号，×－×4＝x＋1，再去小括号为x－－3＝x＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．
解：去括号，得x－－3＝x＋1.
移项，合并同类项，得－x＝.
两边同除以－1，得x＝－.
【例6－2】 解方程－＝－.
分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，＝，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．
解：方程两边分别通分，得＝.化简，得＝.
去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．
去括号，得－24x＋12＝－35x－350.
移项、合并同类项，得11x＝－362.
两边同除以11，得x＝－.
7．列一元一次方程解题
(1)利用方程的解求未知系数的值
当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．
(2)利用概念列方程求字母的值
利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．
列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．
谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件
许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．
【例7－1】 (1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．
(2)若6的倒数等于x＋2，则x的值为__________．
解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解得x＝－.
答案：(1)－3 (2)－
【例7－2】 已知x＝－2是方程＋－x＝的解，求k的值．
分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．
解：把x＝－2代入原方程，得
＋－(－2)＝.
去分母，得
2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．
去括号，得
－4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.
移项、合并同类项，得
－2k＝－16.
方程两边同除以－2，得k＝8.
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