2014届高考数学两角和与差的正弦、余弦复习教学案
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资料简介
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎[知识能否忆起]‎ ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;‎ ‎(2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β;‎ ‎(3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β;‎ ‎(4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;‎ ‎(5)T(α+β):tan(α+β)=;‎ ‎(6)T(α-β):tan(α-β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α;‎ ‎(2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ ‎(3)T2α:tan 2α=.‎ ‎3.常用的公式变形 ‎(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);‎ ‎(2)cos2α=,sin2α=;‎ ‎(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,‎ ‎1-sin 2α=(sin α-cos α)2,‎ sin α±cos α=sin.‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1.(2011·福建高考)若tan α=3,则的值等于(  )‎ A.2            B.3‎ C.4 D.6‎ 解析:选D ==2tan α=2×3=6.‎ ‎2.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为(  )‎ A.- B. C. D.1‎ 解析:选B 原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°=.‎ ‎3.已知sin α=,则cos(π-2α)等于(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选B cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.‎ ‎4.(教材习题改编)若cos α=-,α是第三象限角,则sin=________‎ 解析:由已知条件sin α=-=-,‎ sin=sin α+cos α=-.‎ 答案:- ‎5.若tan=,则tan α=________.‎ 解析:tan==,‎ 即5tan α+5=2-2tan α.‎ 则7tan α=-3,故tan α=-.‎ 答案:- ‎   1.两角和与差的三角函数公式的理解:‎ ‎(1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号.‎ ‎(2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”.‎ ‎(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“‎ 降幂公式”,在考题中常有体现.‎ ‎2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.‎ 三角函数公式的应用 典题导入 ‎[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)=2sin,x∈R.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.‎ ‎[自主解答] (1)∵f(x)=2sin,‎ ‎∴f=2sin=2sin=.‎ ‎(2)∵α,β∈,f=,f(3β+2π)=,‎ ‎∴2sin α=,2sin=.‎ 即sin α=,cos β=.‎ ‎∴cos α=,sin β=.‎ ‎∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ‎=×-×=.‎ 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.‎ 以题试法 ‎1.(1)已知sin α=,α∈,则=________.‎ ‎(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角,cos α=,则tan=(  )‎ A.-3         B.- C.- D.-7‎ 解析:(1)==cos α-sin α,‎ ‎∵sin α=,α∈,∴cos α=-.‎ ‎∴原式=-.‎ ‎(2)依题意得,sin α=,故tan α=2,tan 2α==-,所以tan==-.‎ 答案:(1)- (2)B 三角函数公式的逆用与变形应用 典题导入 ‎[例2] (2013·德州一模)已知函数f(x)=2cos2-sin x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(2)若α为第二象限角,且f=,求的值.‎ ‎[自主解答] (1)∵f(x)=2cos2-sin x=1+cos x-sin x=1+2cos,‎ ‎∴周期T=2π,f(x)的值域为[-1,3].‎ ‎(2)∵f=,∴1+2cos α=,即cos α=-.‎ ‎∵α为第二象限角,∴sin α=.‎ ‎∴= ‎===.‎ 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.‎ 以题试法 ‎2.(1)(2012·赣州模拟)已知sin+cos α=,则sin的值为(  )‎ A.          B. C. D. ‎(2)若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________.‎ 解析:(1)由条件得sin α+cos α=,‎ 即sin α+cos α=.‎ ‎∴sin=.‎ ‎(2)-1=tan=tan(α+β)=,‎ ‎∴tan αtan β-1=tan α+tan β.‎ ‎∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,‎ 即(1-tan α)(1-tan β)=2.‎ 答案:(1)A (2)2‎ 角 的 变 换 典题导入 ‎[例3] (1)(2012·温州模拟)若=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________.‎ ‎(2)(2012·江苏高考)设α为锐角,若cos=,则sin的值为________.‎ ‎[自主解答] (1)由条件知==3,‎ 则tan α=2.‎ 故tan(β-2α)=tan [(β-α)-α]‎ ‎===.‎ ‎(2)因为α为锐角,cos=,‎ 所以sin=,sin 2=,‎ cos 2=,‎ 所以sin=sin ‎=×-×=.‎ ‎[答案] (1) (2) 由题悟法 ‎1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;‎ ‎2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎3.常见的配角技巧:‎ α=2·;α=(α+β)-β;‎ α=β-(β-α);‎ α=[(α+β)+(α-β)];‎ β=[(α+β)-(α-β)];‎ +α=-;α=-.‎ 以题试法 ‎3.设tan=,tan=,则tan=(  )‎ A.          B. C. D. 解析:选C tan=tan ‎==.‎ ‎1.(2012·重庆高考)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,则tan (α+β)的值为(  )‎ A.-3           B.-1‎ C.1 D.3‎ 解析:选A 由题意可知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,‎ tan(α+β)==-3.‎ ‎2.(2012·南昌二模)已知cos=-,则cos x+cos的值是(  )‎ A.- B.± C.-1 D.±1‎ 解析:选C cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x==cos=-1.‎ ‎3. (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α=,那么sinsin的值为(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选A 依题意得,sinsin=sin·cos=sin=cos 2α=(1-2sin2α)=.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为4,则函数g(x)=sin 2x+bcos 2x的最大值和最小正周期为(  )‎ A.1,π B.2,π C.,2π D.,2π 解析:选B 由题意得f′(x)=3x2+b,‎ f′(1)=3+b=4,b=1.‎ 所以g(x)=sin 2x+bcos 2x ‎=sin 2x+cos 2x=2sin,‎ 故函数的最大值为2,最小正周期为π.‎ ‎5. (2012·东北三校联考)设α、β都是锐角,且cos α=,sin=,则cos β=(  )‎ A. B. C.或 D.或 解析:选A 依题意得sin α==,‎ cos(α+β)=±=±.‎ 又α、β均为锐角,因此0-,‎ 所以cos(α+β)=-.‎ cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.‎ ‎6.已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选A 将sin α+cos α=两边平方,可得1+sin 2α=,sin 2α=-,所以(-sin α+cos α)2=1-sin 2α=.因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α=-,所以cos 2α=(-sin α+cos α)·(cos α+sin α)=-.‎ ‎7.(2012·苏锡常镇调研)满足sinsin x+coscos x=的锐角x=________.‎ 解析:由已知可得 coscos x+sinsin x=,‎ 即cos=,‎ 又x是锐角,所以-x=,即x=.‎ 答案: ‎8.化简·=________.‎ 解析:原式=tan(90°-2α)· ‎=· ‎=·=.‎ 答案: ‎9.(2013·烟台模拟)已知角α,β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cos α=________.‎ 解析:依题设及三角函数的定义得:‎ cos β=-,sin(α+β)=.‎ 又∵0

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