凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（7）
教学目标
1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯．
2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法．
3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．
教学重点
会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线” ．
教学难点
几何图形信息转化为尺规操作．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
图（1）
（一）情境创设
工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．
请同学们说明这样画角平分线的道理．
提取信息，利用“SSS” 说明画角平分线的道理．
呈现工人师傅常常利用角尺平分一个角的情境，为探究新知提供“脚手架”，为“探索活动一”的证明提供思路．
第 5 页 共 5 页 2013-11-27
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
（二）探索活动一
图（2）
1．说 请按序说出木工师傅的“操作”过程．
2．作与写 用直尺和圆规在图（2）中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．
3．证 请证明你的作法是正确的．
4．用 用直尺和圆规完成以下作图：
（1）在图（3）中把∠MON四等分．
图（3）
（2）在图（4）中作出平角∠AOB的平分线．
图（4）
说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的
角平分线．
积极思考，回答问题，整理成下列形式：
取OC=OD
移CM=DM
画射线OM
以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．
分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在
∠AOB的内部交于点M．
作射线OM
说：
作：
证明：在△MOC和△MOD中，
OC＝OD，
OM＝OM，
CM＝DM，
∴△MOC≌△MOD（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
即OM平分∠AOB．
通过学生的“说”，进一步加强学生对工人师傅操作过程的理解，引发学生的数学思考，即将相关的几何信息转化为尺规的操作方法．
“说”与“作”对应，为学生“按序”尺规作图提供更为清晰的流程，这样设计使得学生易想、易作和易写，对突破难点，养成有条理的思考十分有益．
“用”就是为了巩固新知和发现新法．
（三）探索活动二
1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C、D的直线l（如图（5）），观察图中射线OM与直线l的位置关系，并说明理由．
图（5）
l
先独立思考，再互相讨论，踊跃回答：
1．OM⊥l，说明理由略．
2．（1）比较
直线l
点O
直线AB
点P
OM⊥直线l
PQ⊥直线AB
（2）分析
作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．
利用已有的图形进行分析，学生对问题的研究既有亲切感又有探究的欲望，此时顺理成章的提出所研究的问题．
“类比”
第 5 页 共 5 页 2013-11-27
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
2．问题变式．
你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）．
图（6）
3．比较分析．
引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略．
4．作图与证明．
（图7）
（1）作法
步骤1 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于C、D．
步骤2 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．
步骤3 作直线PQ．
∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线（如图（7））．
（2）证明略．
5．归纳总结．
根据活动一中的4（2）与活动二可知：
经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．
3．学生尝试作图（如图（7））并书写作法：
（1）作图；
（2）书写作法；
（3）证明．
是发现解决问题策略的一种有效方式，学生通过比较新旧问题的有关信息，不难发现解决新问题的方法，有效地突破了难点．
让学生在活动一的基础上尝试“边作边写”，有利于培养学生的作图能力和几何素养；另外另一方面将“作图、作法、证明”融为一体，有利于培养了学生严谨的数学思维．
第 5 页 共 5 页 2013-11-27
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
（四）知识运用
图（8）
用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b（如图（8））．
1．学生尝试作图；
2．交流作法；
3．总结作两条相互垂直直线的方法．
本题解决的关键是作两条相互垂直的直线，但点的位置没有确定，故根据点的位置的不同可选择不同的解题策略．
（五）拓展延伸
图（9）
如图（9），已知A、B是l上的两点，P是l外的一点．
（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：
①以A为圆心，AP为半径画弧；
②以B为圆心，BP为半径画弧；
③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；
④连结PQ．
（2）求证：PQ⊥l．
1．学生按要求独立作图与证明；
2．小组交流：与前面一种方法进行比较，说明两种方法的异同点．
相同的问题，不同的解法有利于培养学生的发散思维，激发学生学习几何图形的兴趣．
通过比较两种不同的方法，进一步加深理解基本作图的知识本质．
(六)课堂小结
知识联系网络图（教师逐一展示，引导学生回顾总结）：
作已知角的角平分线
过直线上的一点作已知直线的垂线
过直线外的一点作已知直线的垂线
特例
变式
作法
方法1：活动二
方法2：拓展延伸
过平面上一点作已知直线的垂线
作图依据：SSS
活动一
活动
二
知识应用：一题多解
根据教师对网络图的逐步展示，学生进行回顾和总结．
因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，揭示作图的知识本质．
（七）课后作业
图（10）
1．已知∠AOB（如图（10）），
求作：（1）∠AOB的平分线OC．
（2）作射线OD⊥OC（两种作法）．
（3）在OC上取一点P，作出点P到∠AOB
1．作业1由学生独立完成；
2．作业2根据学生的实际情况完成，搜集材料后进行全班交流．
作业1是为了巩固基本作图的几种方法，问题1（2）可培养学生的发散思维，问题1（3）既巩固所学知识，又为后继学习
第 5 页 共 5 页 2013-11-27
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计
两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．
2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？
“角平分线的性质”作铺垫；
作业2主要是拓展学生知识视野，激发探究欲望．
第 5 页 共 5 页 2013-11-27
微信/支付宝扫码支付