第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（一）
一、学生知识状况分析
1、本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上尝试了用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用推导了30°，45°，60°的三角函数值。
2、学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对科学计算器的功能及使用方法有了初步的了解。
二、教学任务分析
随着学习的进一步深入，例如解决测量类的应用问题,面临两个必须解决的问题：一是一般角的三角函数值如何计算？二是已知一个三角函数值，怎样求对应的角度？
为此，本节第一课时学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，第二课时，学习在已知三角函数值时求相应的角度。解决这两个问题实际上就解决了具体计算上的困难，而且使解应用题成为可能，与此同时，掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识。
根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是：
(一)知识与技能
1.会使用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.沟通问题的已知与未知事项，进而运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
(二)过程与方法
1.通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的意义.
2.在具体的情境中，用三角函数刻画事物的相互关系.
3．在求上升高度、水平移动的距离的过程中发现并提出数学问题。
4．运用三角函数方法，借助于图形或式子清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。
（三）情感态度与价值观
体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强对数学方法（三角方法）科学性、完美性的认识。
教学重点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
教学难点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、探索新知、随堂练习、活动与探究课堂小结、布置作业、。
第一环节 情境引入
活动内容：
用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题，感知问题中已知条件和未知事项。
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?
在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin16°=,
∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米).
活动目的：由实际问题引出利用三角函数计算的必要性；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题。
实际教学效果：
因为问题情境贴近学生的生活，所以学生参与活动的热情很高。学生能根据之前所学的三角函数的定义得出BC、AB、sin16°三者的关系，而这里的sin16°学生不知道怎样计算，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望。
第二环节 探索新知
活动内容：
200sin16°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)
按键顺序
显示结果
sin16°
sin16°=0.275637355
cos42°
cos42°=0.743144825
tan85°
tan85=11.4300523
sin72°
38′25″
sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).
2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
多媒体演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?
学生思考后，有如下几种解决方案：
方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
方案二：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.
用计算器辅助计算出结果
（1）在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).
（2）由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).
（3）在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).
在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).
活动目的：引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角函数值的过程。
实际教学效果：学生学会了利用计算器探索计算三角函数值，并解决含有三角函数值计算的实际问题，在小组活动的过程中，学生能积极地参与小组交流、讨论，表现出较高的思维水平和语言表达能力，更感受到科学的方法与科学计算工具结合所产生的独特魅力。
第三环节 随堂练习
活动内容：
下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).
1、用计算器求下列各式的值。
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
答案：(1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.
2、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
=50(m).
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
3、求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°
≈20×1.4826
＝29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
=20×1.1918
=23.836(m).
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
活动目的：进一步加深对新知识的理解和应用，并在练习探究中相互交流，取长补短，优化解决问题策略，激发学生创新思维灵感性。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，正确使用计算器求出三角函数的值，熟练程度比之前有所提高；绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题，进一步体会了三角函数与现实生活的联系，感受数学来源于生活，又服务于生活，应用意识得以提高。
第四环节 活动与探究
活动内容：拓展创新演练：
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，
房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个
水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.
(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]因为tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
活动目的：通过解决现实问题，拓展知识与应用的空间，进一步加深对新知识的理解和运用。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题。
不要求每一个学生都能顺利画图、转化，但可以通过做得好的学生帮助不会的学生解决这一问题。
第五环节 课堂小结
活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你有哪些收获和感想？
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具等方面谈自己的收获与感想。
实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获： 学会了运用计算器计算已知锐角的三角函数值；运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系。进一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合运用三个方面解决问题的意识。
第六环节 布置作业
习题1.4的第1、2题
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维方法。
（2）以现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大多数学生发挥主体作用。
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