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第一章 直角三角形的边角关系 第一节 从梯子的倾斜程度谈起 ( 二 ) 在直角三角形中 , 若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值 , 那么这个角的值也随之确定 . 正切 直角三角形中边与角的关系 : 锐角的三角函数 -- 正切函数 有的放矢 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边与邻边的比 叫做 ∠ A 的正切 , 记作 tanA , 即 A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 tanA = 本领大不大 悟心来当家 如图 , 当 Rt △ ABC 中 的 一个锐角 A 确定时 , 它 的对边与邻边的比 便 随之确定 . 此时 , 其它边之间的比值也确 定 吗 ? 想一想 结论 : 在 Rt △ ABC 中 , 如果 锐角 A 确定 , 那么∠ A 的对边与 斜 边的比、 邻 边与 斜 边的比 也 随之确定 . ∠ A 的对边 A B C ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 正弦与余弦 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边与 斜 边的比叫做 ∠ A 的正 弦 , 记作 sinA , 即 想一想 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的 邻 边与 斜 边的比叫做 ∠ A 的 余弦 , 记作 cosA , 即 锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠ A 的三角函数 . A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 cosA = sinA = 生活问题数学化 结论 : 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关 : sinA 越大 , 梯子越陡 ; cosA 越小 , 梯子越陡 . 想一想 如图 , 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关吗 ? 行家看“门道” 例 2 如图 : 在 Rt△ABC 中 ,∠B=90 0 ,AC=200,sinA=0.6. 求 :BC 的长 . 例题欣赏 老师期望 : 请你求出 cosA,tanA,sinC,cosC 和 tanC 的值 . 你敢应战吗 ? 200 A C B ┌ 解 : 在 Rt△ABC 中 , 知识的内在联系 求 : AB,sinB . 做一做 10 ┐ A B C 老师期望 : 注意到这里 cosA = sinB , 其中有没有什么内在的关系 ? 如图 : 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 0 ,AC=10, 真知在实践中诞生 1. 如图 : 在 等腰 △ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6. 求 : sinB,cosB,tanB . 随堂练习 求 : △ABC 的周长 . 老师提示 : 过点 A 作 AD 垂直于 BC 于 D. C 5 5 6 A B ┌ D ┐ A B C 2. 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 0 ,BC=20, 八仙过海 , 尽显 才能 3. 如图 , 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 , sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 随堂练习 4. 已知 ∠ A,∠B 为锐角 (1) 若 ∠ A= ∠ B, 则 sinA sinB ; (2) 若 sin A = sinB , 则 ∠ A ∠B . A B C ┌ 八仙过海 , 尽显 才能 5. 如图 , ∠C=90°,CD⊥AB . 随堂练习 6. 在上图中 , 若 BD=6,CD=12. 求 cosA 的值 . 老师提示 : 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ┍ ┌ A C B D ┍ ┌ A C B D 八仙过海 , 尽显 才能 7. 如图 , 分别根据图 (1) 和图 (2) 求∠ A 的三个三角函数值 . 随堂练习 8. 在 Rt△ABC 中 , ∠C=90 °, AC= 3 ,AB= 6 , 求 sinA 和 cosB 老师提示 : 求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 . ┌ A C B 3 4 ┌ A C B 3 4 (1) (2) 八仙过海 , 尽显 才能 随堂练习 9. 在等腰 △ ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10, 求 sinB,cosB . 老师提示 : 过点 A 作 AD 垂直于 BC, 垂足为 D. 求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 . A C B ┌ D 相信自己 随堂练习 10. 在梯形 ABCD 中 AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 求 : sinB,cosB,tanB . 老师提示 : 梯形的高是梯形的常用辅助线 , 借助它可以转化为直角三角形 . A D B C F ┌ E ┌ 回味无穷 定义 中应该注意的几个问题 : 小结 拓展 1.sinA,cosA, tanA 是在直角三角形中定义的 , ∠ A 是锐角 ( 注意数形结合 , 构造直角三角形 ). 2.sinA,cosA,tanA 各 是一个完整的符号 , 分别表示 ∠ A 的正弦、余弦和正切 , 记号中习惯省去 “ ∠” ； 3. sinA,cosA, tanA 分别 是一个比值 . 注意比的顺序 , 且 sinA,cosA, tanA 均 大于 0 , 无单位 . 4. sinA,cosA, tanA 的大小只与 ∠ A 的大小有关 , 而与直角三角形的边长无关 . 5. 角相等 , 则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等 , 则这两个锐角相等 . 回味无穷 回顾 , 反思 , 深化 小结 拓展 1. 锐角三角函数定义 : 请思考 : 在 Rt△ABC 中 , sinA 和 cosB 有什么关系 ? A B C ∠ A 的对边 ∠ A 的邻边 ┌ 斜边 tanA = sinA = cosA = 1. 如图 , 分别求 ∠ α, ∠ β 的正弦、余弦和正切 . 2. 在△ ABC 中 ,AB=5,BC=13,AD 是 B C 边上的高 ,AD=4. 求 : CD,sinC . 3. 在 Rt△ABC 中 ,∠BCA=90°,CD 是 中线 , BC= 8 ,CD= 5 . 求 sin∠ACD,cos∠ACD 和 tan∠ACD. α β 9 ┐ x 4. 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°,sinA 和 cosB 有什么关系 ? 知识的升华 结束寄语 数学中的某些定理具有这样的特性 : 它们极易从事实中归纳出来 , 但证明却隐藏极深 . —— 高斯 下课了 ! 再见