线段的垂直平分线（一）.ppt

第一章 三角形的证明 用心想一想，马到功成 如图， A 、 B 表示两个仓库，要在 A 、 B 一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等 ，码头应建在什么位置 ? A B 线段垂直平分线的性质： 定理： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线 MN⊥AB ，垂足是 C ，且 AC=BC ， P 是 MN 上的点． 求证： PA=PB ． N A P B C M 证明：∵ MN⊥AB ， ∴∠ PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC ， PC=PC, ∴△ PCA≌△PCB(SAS) ； ∴ PA=PB( 全等三角形的对应边相等 ) ． 用心想一想，马到功成 你能写出上面这个定理的逆命题吗 ? 它是真命题吗 ? 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ． 求证： P 点在 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC ， PA=PB ， PC=PC ， ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC(HL) ． ∴ AC=BC ， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上． C B P A 证法二：取 AB 的中点 C ，过 P,C 作直线． ∵ AP=BP ， PC=PC.AC=CB ， ∴△ APC≌△BPC(SSS) ． ∴∠ PCA=∠PCB( 全等三角形的对应角相等 ) ． 又∵∠ PCA+∠PCB=180° ， ∴∠ PCA=∠PCB=∠90° ，即 PC⊥AB ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上． C B P A 已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ． 求证： P 点在 AB 的垂直平分线上． 一题多解 C B P A 已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ． 求证： P 点在 AB 的垂直平分线上． 一题多解 证法三：过 P 点作∠ APB 的角平分线交 AB 于点 C ． ∵ AP=BP ，∠ APC=∠BPC ， PC=PC ， ∴△ APC≌△BPC(SAS) ． ∴ AC=BC ，∠ PCA=∠PCB 又∵∠ PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定： 定理： 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 想一想，做一做 已知：如图 1-18 ，在 △ ABC 中， AB = AC ， O 是 △ ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC ． 课堂小结 , 畅谈收获： 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线． 补充练习： 1 ．已知：△ ABC 中，边 AB 、 BC 的垂直平分线相交于点 P ．求证：点 P 在 AC 的垂直平分线上． 2 ．如图，求作一点 P ，使 PA=PB ， PC=PD A B C D