浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第三十四讲 圆的基本性质》基础演练.doc

第三十四讲 圆的基本性质 课 前 必 读 考纲要求 1. 理解圆及其有关概念； 2. 了解弧、弦、圆心角的关系； 3. 探索并了解点与圆的位置关系； 4. 了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征； 5. 探索圆的性质，体会反证法的含义 . . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 垂径定理 (4 分 ) 填空题 中等 2011 年 圆周角定理与圆心角定理 (8 分 ) 解答题 稍难 2012 年 垂径定理与圆周角定理 (3 分 ) . 学.科.网 选择题 容易 网 络 构 建 圆的性质应理解 基本图形应牢记 圆中见弦想 “ 垂径 ” 圆中见角想 “ 圆周角 或圆心角 ” 关键找基本图形 否则造基本图形 . 学.科.网 考 点 梳 理 与圆有关的概念 AC 、 AB AB 名师助学 1 ．直径是弦，弦不一定是直径，直径是最长的弦； 2 ．半圆是弧，弧不一定是半圆． 1 ．圆的轴对称性及垂径定理 (1) 圆是轴对称图形， _____________________ 都是对称轴． (2) 圆心到圆的一条弦的 _____ 叫做弦心距；分一条弧成 _____ 两条弧的点，叫做这条弧的中点． (3) 垂径定理 ①垂直于弦的直径 ___________ ，并且平分 _______________ ． 圆的有关性质 每一条直径所在的直线 距离 相等 平分这条弦 弦所对的两条弧 ②平分弦 (_________) 的直径 _________ ，并且平分 _______________ ． ③平分弧的直径 _________ 弧所对的弦． (1) 圆是中心对称图形， _____ 是对称中心，旋转 ____ 角度与自身重合． (2) 顶点在 ______ 的角叫做圆心角； ____________ 所对的弧就是 n °的弧． (3) 圆心角的性质 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 _______ ，所对的 _________ ． 2 ．圆的中心对称性及圆心角定理 不是直径 垂直于弦 弦所对的两条弧 垂直平分 圆心 任意 圆心 n °的圆心角 弧相等 弦也相等 ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有 ____________ ，那么它们所对应的 ____________ 都相等． (1) 顶点在 ______ ，它的两边 _____________ 的角叫做圆周角． (2) 圆周角定理 ①一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 _____ ． ②半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ______ ； 90 °的圆周角所对的弦是 ______ ． 3 ．圆周角的定义及定理 一对量相等 其余各对量 圆上 都和圆相交 一半 直角 直径 名师助学 1 ．在运用圆周角与圆心角的关系时，不要忽略 “ 同弧或等弧”这个前提条件； 2 ．见直径时常常利用 90 °的圆周角，见 90 °的圆周角常常利用它所对的弦是直径． 1 ． 两个要素 ： ______ 和 ______ ． 2 ． ______________ 的三个点确定一个圆． 3 ．三角形的外心是三角形 _______________ 的交点， 它到三角形 _________ 的距离相等． 4 ．点和圆的位置关系有三种 ：点在圆内、 ________ 、 ________ ．如果圆的半径是 r ，点到 圆心的距离为 d ，那么： (1) 点在圆上 ⇔ d ＝ r ； (2) 点在圆内 ⇔ ______ ； (3) _________ ⇔ d ＞ r . 确定圆的条件及点与圆的位置关系 圆心 半径 不在同一直线上 三边垂直平分线 三个顶点 点在圆上 点在圆外 d ＜ r 点在圆外 名师助学 1 ．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 2 ．钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点处，锐角三角形的外心在三角形内部； 3 ．经过同一直线上的三点不能作圆． 对 接 中 考 常考角度 运用垂径定理进行相关的计算或证明． 对接点一：垂直于弦的直径 【 例题 1 】 (2012· 衢州 ) 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 ________mm. 分析 　过点 O 作 OD ⊥ AB 于 D ，先求出钢珠的半径及 OD 的长，则 AB ＝ 2 AD ，在 Rt △ AOD 中利用勾股定理即可求出 AD 的长，进而得出 AB 的长． 解析 　连接 OA ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，则 AB ＝ 2 AD ， ∵钢珠的直径是 10 mm ， ∴钢珠的半径是 5 mm ， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ， 答案 　 8 1. 圆中遇到弦的问题时常常利用垂径定理； 2 ．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【 预测 1 】 如图， AB 是 ⊙ O 的弦， AB 长为 8 ， P 是 ⊙ O 上一个动点 ( 不与 A 、 B 重合 ) ，过点 O 作 OC ⊥ AP 于点 C ， OD ⊥ PB 于点 D ，则 CD 的长为 ________ ． 答案 　 4 【 预测 2 】 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图 ( 网格中的每个小正方形边长为 1) 的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是 ( 　　 ) 答案 　 B 常考角度 运用圆心角定理解决关于圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的计算或证明． 对接点二：圆心角定理 (1) 求证： △ POD ≌△ ABO ； (2) 若直线 l ： y ＝ kx ＋ b 经过圆心 P 和 D ，求直线 l 的解析式 1. 根据圆心角定理由弧相等可得它们所对的圆心角相 等； 2 ．有一个角是 60 °的等腰三角形是等边三角形； 3 ．判定三角形全等的方法： SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS ； 4 ．用待定系数法求函数解析式． 解 　 (1) AB ＝ CD 证明：作 O ′ E ⊥ AB ， O ′ F ⊥ CD ，垂足分别为 E 、 F . ∵ O ′ 的坐标为 (1 ，－ 1) ， ∴ O ′ E ＝ O ′ F ，∴ AB ＝ CD . 【 预测 4 】 如图，点 O 是 ∠ EPF 的平分线上一点， ⊙ O 和 ∠ EPF 的两边分别交于点 A 、 B 和 C 、 D ，根据上述条件，可以推出 ________ 或 ________ ． ( 要求：填写一个你认为正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程 ) 常考角度 运用圆周角定理进行相关的计算或证明． 对接点三：圆周角定理 【例题 3 】 (2012· 湖州 ) 如图， △ ABC 是 ⊙ O 的内接三角形， AC 是 ⊙ O 的直径， ∠ C ＝ 50 °， ∠ ABC 的平分线 BD 交 ⊙ O 于点 D ，则 ∠ BAD 的度数是 ( 　　 ) A ． 45 °　　　　 B ． 85 ° C ． 90 °　　　　 D ． 95 ° 分析　 根据圆周角定理及推论和角平分线的定义可分别求出 ∠ BAC 和 ∠ CAD 的度数，进而求出 ∠ BAD 的度数． 解析 　 ∵ AC 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ ABC ＝ 90 °， ∵∠ C ＝ 50 °， ∴∠ BAC ＝ 40 ° ∵∠ ABC 的平分线 BD 交 ⊙ O 于点 D ， ∴∠ ABD ＝ ∠ DBC ＝ 45 °， ∴∠ CAD ＝ ∠ DBC ＝ 45 °， ∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＋ ∠ CAD ＝ 40 °＋ 45 °＝ 85 °， 所以选 B. 答案 　 B 1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 2 ．直径所对的圆周角是直角． 【预测 5 】 如图， △ ABC 是 ⊙ O 的内接三角形，若 ∠ BCA ＝ 60 °，则 ∠ ABO ＝ ________ ． 答案 　 30 ° 图 1 (2) 当 AC 与 AD 在 AB 两侧时， 如图 2 所示， 由 (1) 知， ∠ DAB ＝ 60 °， ∠ CAB ＝ 45 °， ∴∠ CAD ＝ ∠ DAB ＋ ∠ CAB ＝ 60 °＋ 45 °＝ 105 ° . 由 (1) ， (2) 得 ∠ CAD 的度数为 15 °和 105 ° . 图 2 常考角度 1 ．根据 d 与 R 的关系判定点与圆的位置关系； 2 ．根据外心概念，进行相关的计算与证明． 对接点四：点和圆的位置关系及三角形的外接圆 【 例题 4 】 (2012· 阜新 ) 如图，在 △ ABC 中， BC ＝ 3 cm ， ∠ BAC ＝ 60 °，那么 △ ABC 能被半径至少为 ________cm 的圆形纸片所覆盖． 1. 已知角度求线段常用解直角三角形； 2 ．直径等于半径的 2 倍； 3 ．在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等． 【 预测 7 】 如图， △ ABC 的外心坐标是 ________ ． 解析　 ∵△ ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴ 作图得： ∴ EF 与 MN 的交点 O ′ 即为所求的 △ ABC 的外心， ∴△ ABC 的外心坐标是 ( － 2 ，－ 1) ． 答案 　 ( － 2 ，－ 1) 【预测 8 】 如图， AD 为 △ ABC 外接圆的直径， AD ⊥ BC ，垂足为点 F ， ∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ， CD . (1) 求证： BD ＝ CD ； (2) 请判断 B ， E ， C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由． 易 错 防 范 问题 1. 平分弦的直径垂直于弦，学生常常忽略了弦 不是直径； 问题 2. 对圆中分类讨论思想理解不透彻，往往忘记 讨论． 圆的有关性质中常见错误 【 例题 5 】 (2012· 绥化 )⊙ O 为 △ ABC 的外接圆， ∠ BOC ＝ 100 °，则 ∠ A ＝ ________ ． [ 错因分析 ] 　 △ ABC 外心的位置不能确定，应当进行讨论，学生未进行讨论． 1. 结合图形记忆性质； 2 ．当遇到不确定问题时，要分情况讨论． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接