浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第十四讲 一次函数》基础演练.doc

第十四讲 一次函数 课 前 必 读 考纲要求 1. 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式； 2. 理解正比例函数； 3. 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式 y ＝ kx ＋ b ( k 是常数， k ≠ 0) 探索并理解其性质 ( k ＞ 0 或 k ＜ 0 时，图象的变化情况 ) ； 4. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； 5. 能利用一次函数解决实际问题 . 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 实际问题与一次函数 (10 分 ) 解答题 稍难 2011 年 实际问题与函数图象 (3 分 ) 选择题 中等 2012 年 求实际问题中两一次函数图象的交点 (6 分 ) 学.科.网 解答题 中等 网 络 构 建 一次正比要搞清 k 、 b 符号关系大 数形结合最为佳 实际解决需要它 学.科.网 考 点 梳 理 一次函数 函数 y ＝ ______ ( k ， b 都是常数，且 k __0) 叫做一次函数，当 b ＝ 0 时，一次函数 y ＝ kx ＋ b 就成为 ______ ( k 为常数，且 k __0) ，叫做正比例函数，常数 k 叫做比例系数． 学.科.网 一次函数的概念 kx ＋ b ≠ y ＝ kx ≠ 名师助学 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数． 1 ．图象的特征 一次函数的图象和性质 (2) 正比例函数 y ＝ kx 的图象是一条过 (0 ， __) 的直线． 0 2 ．一次函数的图象与性质 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) k ＞ 0 b ＝ 0 b ＞ 0 b ＜ 0 图象 性 质 经过 象限 第 _____ 象限 第 _______ 象限 第 _______ 象限 变化 情况 y 随 x 的增大而 _____ 学.科.网 一三 一二三 一三四 增大 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) k ＜ 0 b ＝ 0 b ＞ 0 b ＜ 0 图象 性 质 经过 象限 第 _____ 第 _______ 第 _______ 变化 情况 y 随 x 的增大而 _____ 二四 一二四 二三四 减小 3 ． | k | 越大，直线越陡峭，即当 _____ 时， k 越大， y 随 x 的增大而增大的速度越 __ ；当 k ＜ 0 时， | k | 越大， y 随 x 的增大而 _____ 的速度越快． 名师助学 一次函数是直线， k ， b 符号定象限； 正比函数更简单，经过原点一直线； 函数增减 k 说算，直线位置 ( 与 y 轴的交点 ) 由 b 见． k ＞ 0 大 减小 确定一次函数解析式的方法和步骤 1 ．设所求的一次函数解析式为 _________ ，其中 k ， b 是待确定的常数． 2 ．把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入 ________ ，得到关于 k ， b 的 ______________ ． 3 ．解这个关于 k ， b 的 ______________ ，求出 ____ 的值． 4 ．把求得的 k ， b 的值代入 _________ ，就得到所求的一次函数解析式． 确定一次函数解析式的方法 y ＝ kx ＋ b y ＝ kx ＋ b 二元一次方程组 二元一次方程组 k ， b y ＝ kx ＋ b 名师助学 1 ．方法步骤的实质是二元一次方程组的思想． 2 ．两对自变量与函数的对应值给出的方式有： (1) 以两组数给出； (2) 以两个点的坐标给出； (3) 隐含在函数的图象中． 1 ．一次函数 y ＝ kx ＋ b 图象与 x 轴交点横坐标是 _____ ＝ 0 时一元一次方程的解，与 y 轴的交点的纵坐标是 __ ＝ 0 时一元一次方程的解． 2 ．求两直线交点坐标，就是求由这两条直线的解析式组成的 _______________ 的解． 3 ．任何一元一次不等式都可转化为 kx ＋ b ＞ 0 或 kx ＋ b ＜ 0( k ， b 为常数，且 k ≠0) 的形式．所以解一元一次不等式可以看做当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值 y ＞ 0 或 y ＜ 0 时，求 ________ 对应的取值范围． 一次函数的应用 kx ＋ b x 二元一次方程组 自变量 x 4 ．用一次函数解决实际问题 (1) 利用一次函数的图象寻求实际问题中的变化规律解题． (2) 利用两个一次函数的图象解决方案选择问题． 名师助学 1 ．利用图象理解三个“一次”问题，是数形结合的最佳体现． 2 ．方案设计这类问题常见的是图表信息题，其解决策略的关键是要认真观察、分析图象，结合相关文字弄清图象上的点或线的具体意义，读懂图象． 对 接 中 考 常考角度 (1) 一次函数的图象分布与 k 、 b 的符号之间关系； (2) 一次函数的增减性与 k 的符号之间的关系； (3) 一次函数与坐标轴的交点及其围成的图形的面积等． 对接点一：一次函数图象和性质问题 A ． (0 ， 4) B ． (4 ， 0) C ． (2 ， 0) D ． (0 ， 2) 分析 　在解析式中令 x ＝ 0 ，即可求得与 y 轴的交点的纵坐标． 解析 　令 x ＝ 0 ，得 y ＝－ 2×0 ＋ 4 ＝ 4 ， 则函数图象与 y 轴的交点坐标是 (0 ， 4) ． 答案 　 A 【 例题 1】 (2012· 温州 ) 一次函数 y ＝－ 2 x ＋ 4 的图象与 y 轴的交点坐标是 ( 　　 ) 【 预测 1 】 已知一次函数 y ＝ mx ＋ n － 2 的图象如图所示，则 m ， n 的取值范围是 ( 　　 ) A ． m ＞ 0 ， n ＜ 2 B ． m ＞ 0 ， n ＞ 2 C ． m ＜ 0 ， n ＜ 2 D ． m ＜ 0 ， n ＞ 2 解析 　由图象可知， y 随 x 的增大而减小， ∴ m ＜ 0 ， ∵直线交 y 轴于正半轴，∴ n － 2 ＞ 0 ∴ n ＞ 2. 答案 　 D A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 　∵ k － 3 ＞ 0 　∴ k ＞ 3 ，只有 D 符合． 答案 　 D 【 预测 2 】 一次函数 y ＝ ( k － 3) x ＋ 2 ，若 y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可以是 ( 　　 ) 【 预测 3 】 函数 y ＝ 2 x － 8 的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ________ ． 答案 　 16 常考角度 1 ．已知直线上或图象上两点型． 2 ．图象平移型． 3 ．实际问题型． 4 ．与其它函数综合． 对接点二：确定一次函数解析式 【 例题 2】 (2012· 湖州 ) 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 为常数，且 k ≠0) 的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx ＋ b ＝ 0 的解为 ________ ． 分析 　先根据一次函数 y ＝ kx ＋ b 过 (2 ， 3)(0 ， 1) 点，求出一次函数的解析式，再求出一次函数 y ＝ x ＋ 1 的图象与 x 轴的交点坐标，即可求出答案． 答案 　－ 1 1. 明确确定一次函数解析式的方法和步骤． 2 ．通过分析题意或仔细观察图象找出一次函数满足的两个条件． A ． y ＝ 2 x － 3 B ． y ＝ 2 x ＋ 2 C ． y ＝ 2 x ＋ 1 D ． y ＝ 2 x 解析 　∵直线 y ＝ 2 x ＋ 3 沿 y 轴向下平移 2 个单位， ∴平移后的直线与 y 轴交点的纵坐标减小 2 ， ∴平移后的直线的解析式为 y ＝ 2 x ＋ 1. 答案 　 C 【 预测 4 】 一次函数 y ＝ 2 x ＋ 3 的图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，所得图象的函数解析式是 ( 　　 ) 解析 　 y ＝ 1 000 ＋ 1 000×0.15%× x y ＝ 1 000 ＋ 1.5 x 答案 　 y ＝ 1000 ＋ 1.5 x 【 预测 5 】 某种储蓄的月利率为 0.15% ，现存入 1 000 元，则本息和 y ( 元 ) 与所存月数 x 之间的函数关系式是 ________ ． (1) 求 k ， b 的值； (2) 若一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴的交点为 A ( a ， 0) ，求 a 的值． 【 预测 6 】 已知：一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过 M (0 ， 2) ， N (1 ， 3) 两点． 常考角度 1 ．方案设计问题 ( 物资调运、方案比较 ) ． 2 ．分段函数问题 ( 分段价格、几何动点 ) ． 3 ．由形求式 ( 单个函数图象、多个函数图象 ) ． 4 ．一次函数多种变量及其最值问题． 对接点三：一次函数的实际应用 【 例题 3】 (2012· 衢州 ) 在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对 A 、 B 两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从 A 村向 B 村方向修筑，乙工程队从 B 村向 A 村方向修筑．已知甲工程队先施工 3 天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度 y ( 米 ) 与施工时间 x ( 天 ) 之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1) 乙工程队每天修公路多少米？ (2) 分别求甲、乙工程队修公路的长度 y ( 米 ) 与施工时间 x ( 天 ) 之间的函数关系式． (3) 若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 分析 　 (1) 根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数； (2) 根据函数的图象运用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式； (3) 先求出该公路总长，再设出需要 x 天完成，根据题意列出方程组，求出 x ，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数． 所以 y 乙 ＝ 120 x － 360 ， (3 ≤ x ≤ 9) 当 x ＝ 6 时， y 乙 ＝ 360 ， 设 y 甲 ＝ kx ，则 360 ＝ 6 k ， k ＝ 60 ， 所以 y 甲 ＝ 60 x .(0 ≤ x ≤ 15) (3) 当 x ＝ 15 时， y 甲 ＝ 900 ， 所以该公路总长为： 720 ＋ 900 ＝ 1 620( 米 ) ， 该需 x 天完成，由题意得： (120 ＋ 60) x ＝ 1620 ， 解得： x ＝ 9 ， 答 　 (1) 乙工程队每天修公路 120 米； (3) 该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需 9 天完成． 【 例题 4】 (2012· 德州 ) 现从 A 、 B 向甲、乙两地运送蔬菜， A ， B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其中甲地需要蔬菜 15 吨，乙地需要蔬菜 13 吨，从 A 到甲地运费 50 元 / 吨，到乙地 30 元 / 吨，从 B 到甲地运费 60 元 / 吨，到乙地 45 元 / 吨． (1) 设 A 地向甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表： 运往甲地 ( 单位：吨 ) 运往乙地 ( 单位：吨 ) A x B (2) 设总运费为 W 元，请写出 W 与 x 的函数关系式． (3) 怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 分析 　这类题目运用图示分析清晰明了，分析图如下 解 　 (1) 运往甲地 ( 单位：吨 ) 运往乙地 ( 单位：吨 ) A x 14 － x B 15 － x x － 1 答 　当 x 最小为 1 时， W 有最小值 1 280 元． 1 ．一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) 本来没有最大值，也没有最小值，但是由于在实际问题中，所列函数表达式中的自变量的取值往往有一定的限制，故有最大值或最小值． 2 ．求解物资调运问题的一般策略： (1) 用图或表格设置未知数，同时在图或表格中标记相关数量； (2) 根据图或表格中数量的关系写函数式； (3) 依题意正确确定自变量的取值范围 ( 一般通过不等式、不等式组确定 ) ； (4) 根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案．物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型． 【 预测 7 】 某商业集团新进了 40 台空调机， 60 台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中 70 台给甲连锁店， 30 台给乙连锁店，两个连锁店销售这两种电器每台的利润 ( 元 ) 如下表 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店 x 台空调机，集团卖出这 100 台电器的总利润为 y ( 元 ) ． (1) 求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围； (2) 为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ (2) 按题意知： y ＝ (200 － a ) x ＋ 170(70 － x ) ＋ 160(40 － x ) ＋ 150( x － 10) ， 即 y ＝ (20 － a ) x ＋ 16 800. ∵ 200 － a ＞ 170 ， ∴ a ＜ 30. 当 0 ＜ a ＜ 20 时， x ＝ 40 ，即调配给甲连锁店空调机 40 台，电冰箱 30 台，乙连锁店空调 0 台，电冰箱 30 台，使利润最大； 当 a ＝ 20 时， x 的取值在 10≤ x ≤40 内的所有方案利润相同； 当 20 ＜ a ＜ 30 时， x ＝ 10 ，即调配给甲连锁店空调机 10 台，电冰箱 60 台，乙连锁店空调 30 台，电冰箱 0 台，所获利润最大． 【 预测 8 】 在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程 y ( 千米 ) 随时间 x ( 时 ) 变化的图象 ( 全程 ) 如图所示．有下列说法：①起跑后 1 小时内，甲在乙的前面；②第 1 小时两人都跑了 10 千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了 20 千米．其中正确的说法有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 解析 　由图象可知起跑后 1 小时内，甲的图象在乙的图象上面，所以甲跑在乙前面，所以①正确；同样②正确．乙比甲先到达终点，所以③错，两人都跑了 20 千米，所以④正确． 答案 　 C 【 预测 9 】 一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为 t ( 小时 ) ，航行的路程为 s ( 千米 ) ，则 s 与 t 的函数图象大致是 ( 　　 ) 解析 　顺水时速度快，路程图象应该比较陡峭；在乙地停留时，路程图象应该是水平的，返航是逆水而上，速度慢，路程图象应该比较平缓． 答案 　 B 易 错 防 范 问题 1. 忽略条件 k ≠0 ； 问题 2. 一次函数与正比例函数的关系模糊； 问题 3. 用一次函数处理实际问题时，忽略自变量的 实际意义． 一次函数常见错误 [ 错解 ] 　由已知，得 m 2 － 3 ＝ 1 ，所以 m ＝ ±2. [ 错因分析 ] 　本题将 m 的值隐含在一次函数表达式中，既要考虑 x 的系数不为 0 ，又要保证 x 的指数为 1 ，而错解只考虑了指数为 1 ，而忽视了一次函数的条件 m － 2≠0 ，即 m ≠2. [ 正解 ] 　∵ m 2 － 3 ＝ 1 ∴ m ＝ ±2 又∵ m － 2≠0 ， ∴ m ≠ 2 ，∴ m ＝－ 2 ， ∴填－ 2. 【 例题 5】 (2012· 宁夏 ) 已知关于 x 的函数 y ＝ ( m － 2) xm 2 － 3 ＋ ( m ＋ 1) 是一次函数，则 m 的值为 ________ ． 1. 正确把握一次函数和正比例函数的概念，自变量的指数为 1 ，系数不为 0. 2 ．实际问题中函数的自变量的取值范围，往往受到多个实际条件的限制，必须考虑全面． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接