一元二次方程的解法第2课时
1．一元二次方程的求根公式及推导
(1)求根公式的定义
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝.这个式子称为一元二次方程的求根公式．
(2)求根公式的推导
一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的过程．具体推导过程如下：
由于a≠0，在方程两边同除以a，得x2＋x＋＝0.
移项，得x2＋x＝－.
方程两边同加上()2，得x2＋x＋()2＝－＋()2，即(x＋)2＝.
由于4a2＞0，所以当b2－4ac≥0时，
可得x＋＝±.
所以x＝.
(1)配方法是推导求根公式的基础．
(2)由于4a2＞0，所以只有当b2－4ac≥0时，式子才是非负常数，方程才能开方．
(3)由此可见，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．
【例1】方程3x2－8＝7x化为一般形式是________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为________．
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.
答案：3x2－7x－8＝0 3 －7 －8
2．公式法解一元二次方程
(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值．
②计算b2－4ac的值，从而确定原方程是否有实数根．
③若b2－4ac≥0，则把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程没有实数根．
(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．
(2)“b2－4ac≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，并注意它们的符号．
(4)当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成x1＝x2＝－，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．
【例2】用公式法解下列方程：
(1)2x(x＋)＋1＝0；
(2)x2＋4x－1＝10＋8x.
分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，然后判断b2－4ac的值是大于等于0，还是小于0.若b2－4ac≥0，把a，b，c的值代入求根公式求解；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根．
解：(1)原方程可化为2x2＋2x＋1＝0.
因为a＝2，b＝2，c＝1，
所以b2－4ac＝(2)2－4×2×1＝0.
所以x＝＝－.
所以x1＝x2＝－.
(2)将原方程化为一般形式，得x2－4x－11＝0.
因为a＝1，b＝－4，c＝－11，
所以b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60.
所以x＝＝.
所以x1＝2＋，x2＝2－.
点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b2－4ac≥0，才能将a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解．当b2－4ac＜0时，原方程没有实数根．
3．因式分解法
(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．
(2)因式分解法的理论依据：若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．
【例3】解下列方程：
(1)x－3＝x(x－3)；
(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；
(3)x2－2x＝－3.
分析：
⑴
移项
右
边
为
0
左边能提取公因式(x－3)
⑵
移项
左边能用平方差公式进行分解
⑶
移项
左边正好是一个完全平方式
解：(1)原方程可化为(x－3)－x(x－3)＝0.
∴(x－3)(1－x)＝0.∴x－3＝0，或1－x＝0.
∴x1＝3，x2＝1.
(2)原方程可化为(x－2)2－(2x＋3)2＝0.
∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，
即(3x＋1)(－x－5)＝0.
∴3x＋1＝0，或－x－5＝0.
∴x1＝－，x2＝－5.
(3)原方程可化为x2－2x＋3＝0，即
x2－2x＋()2＝0.
∴(x－)2＝0.∴x1＝x2＝.
4．因式分解法的两种类型
一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：
(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．
例如，解方程x－3－x(x－3)＝0，可通过提公因式(x－3)，原方程变形为(x－3)(1－x)＝0.
(2)能运用公式
①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.
例如，解方程x2－4＝0，利用平方差公式变形为(x＋2)(x－2)＝0；
解方程x2－4x＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x－2)2＝0.
在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．
【例4】解下列方程：
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(3)(x＋3)(x－1)＝4x－4.
分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．
(1)
右边为0
左边可整体利用平方差公式分解因式
(2)
右边为0
将2x＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解
(3)
移项后把右边化为0
变形后能提公因式(x－1)
解：(1)原方程可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，
即(2x－6)2－(5x－10)2＝0.
∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，
即(7x－16)(－3x＋4)＝0.
∴7x－16＝0，或－3x＋4＝0.
∴x1＝，x2＝.
(2)原方程可变形为(2x＋1＋2)2＝0，
即(2x＋3)2＝0.∴2x＋3＝0.
∴x1＝x2＝－.
(3)原方程可变形为
(x＋3)(x－1)－4(x－1)＝0.
∴(x－1)2＝0.∴x1＝x2＝1.
5．利用因式分解法解一元二次方程的误区
应用因式分解法解方程时，常有以下误区：
(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a·b＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.
(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项．
【例5】解方程：(1)(x－2)(x－3)＝6.
(2)2x(x＋1)＝3(x＋1)．
解：
解答
顾问点评
(1)
错解
x－2＝0，或x－3＝0，得x1＝2，x2＝3.
用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0
正解
整理，得x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0.∴x＝0，或x－5＝0.∴x1＝0，x2＝5.
先整理成一般形式，再选择适当的方法
(2)
错解
方程两边同时除以(x＋1)，得2x＝3，解得x＝.
出现两边同除以(x＋1)的错误
正解
移项，得2x(x＋1)－3(x＋1)＝0，∴(x＋1)(2x－3)＝0.∴x＋1＝0，或2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝.
移项后可提公因式(x＋1)
6．选择适当的方法解一元二次方程
(1)一元二次方程一般有四种解法，四种解法对照如下：
解法
适合类型
注意事项
直接开平方法
(x±m)2＝n
n≥0时，有解；n＜0时，无解
配方法
x2＋px＋q＝0
二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
先化为一般形式再用公式．b2－4ac≥0时，方程有解；b2－4ac＜0时，方程无解
因式
分解法
方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式
(2)选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．
①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；
②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦；
③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．
因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．
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____________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程：
(1)3x(x－1)＝1－x；(2)x2－2x－11＝0；
(3)2x2－5x－1＝0.
分析：
(1)
将方程右边的“1－x”移到方程左边，则变为“x－1”，此时有公因式“x－1”可提.
因式分解法
(2)
配方法
仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x2－2x”易于配方，可选用配方法求解.
(3)
公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，就可以直接代入公式求解.
公式法
解：(1)原方程可化为3x(x－1)＋(x－1)＝0，
∴(x－1)(3x＋1)＝0.∴x－1＝0，或3x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝－.
(2)移项，得x2－2x＝11，
配方，得x2－2x＋1＝11＋1，即(x－1)2＝12.
∴x－1＝±2，即x＝±2＋1.
∴x1＝2＋1，x2＝－2＋1.
(3)∵a＝2，b＝－5，c＝－1，
b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0，
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
【例6－2】用适当的方法解下列方程：
(1)9(x＋2)2＝16；(2)(x－1)2－(x－1)－6＝0；
(3)4x2－4x＋1＝0；(4)(3x－4)2＝9x－12.
分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好．
解：(1)原方程变形为(x＋2)2＝，
所以x＋2＝±，即x＝±－2.
所以x1＝－，x2＝－.
(2)原方程变形为(x－1＋2)(x－1－3)＝0，即(x＋1)(x－4)＝0，
所以x＋1＝0或x－4＝0.所以x1＝－1，x2＝4.
(3)因为a＝4，b＝－4，c＝1，
所以b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝16.
所以x＝＝.
所以x1＝，x2＝.
(4)原方程变形为(3x－4)2＝3(3x－4)，
即(3x－4)2－3(3x－4)＝0，
分解因式，得(3x－4)[(3x－4)－3]＝0，
即(3x－4)(3x－7)＝0，
所以3x－4＝0或3x－7＝0.
所以x1＝，x2＝.
7．用十字相乘法解一元二次方程
十字相乘法能把某些二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2＋a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
当二次项系数为1时，上述公式变为x2＋bx＋c＝(x＋c1)(x＋c2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．
例如，分解因式2x2－7x＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则
交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x2－7x＋3可分解为(x－3)(2x－1)．
【例7】用十字相乘法解下列方程：
(1)x2＋2x－8＝0；
(2)6x2＋5x－50＝0.
分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x＋4)(x－2)＝0.
(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，
于是原方程可化为(2x－5)(3x＋10)＝0.
解：(1)原方程可化为(x＋4)(x－2)＝0，
∴x＋4＝0，或x－2＝0.
∴x1＝－4，x2＝2.
(2)原方程可化为(2x－5)(3x＋10)＝0，
∴2x－5＝0，或3x＋10＝0.
∴x1＝，x2＝－.
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