一元二次方程的根与系数的关系
1．一元二次方程的根的判别式
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.
②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．
(2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系
①利用根的判别式判定根的情况．
一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根．
②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0.
①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．
②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．
【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝2x；
(3)x2＋1＝x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；
(5)ax2＋c＝0(a≠0)．
分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论．
解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4.
∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)将方程转化为一般形式为3x2－2x＋2＝0.a＝3，b＝－2，c＝2.
∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)将方程转化为一般形式为x2－x＋1＝0.
方程两边同乘以2，得x2－x＋2＝0，a＝，b＝－，c＝2.
∵Δ＝b2－4ac＝(－)2－4××2＝2－8＜0，∴原方程没有实数根．
(4)ax2＋bx＝0(a≠0)，∵a≠0，
∴方程是一元二次方程，
∴Δ＝b2－4·a·0＝b2.
又∵b取任何实数，b2均为非负数，
∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．
(5)ax2＋c＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac＝－4ac.
当c＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；
当a与c异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；
当a与c同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．
运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．
2．一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个关系通常称为韦达定理．
(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：
①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；
②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.
(2)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
【例2】不解方程，说明一元二次方程2x2＋4x＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．
分析：因为方程2x2＋4x＝1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．
解：把方程2x2＋4x＝1转化成一般形式为2x2＋4x－1＝0.
(1)∵Δ＝b2－4ac＝42－4×2×(－1)＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)设该方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可知
x1＋x2＝－＝－＝－2，x1·x2＝＝＝－.
点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a，b，c.
3．利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac＞0；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，则b2－4ac＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．
例如，已知关于x的方程kx2－4kx＋k－5＝0有两个相等的实数根，求k的值，并解这个方程．
分析：因为方程有两个实数根，所以有隐含条件二次项系数k≠0.又因为方程有两个相等的实数根，由此可得Δ＝0.
对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须先考虑隐含条件a≠0.
【例3】当k取何值时，关于x的一元二次方程kx2＋9＝12x，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：原方程可化为kx2－12x＋9＝0.因为此方程是关于x的一元二次方程，所以k≠0，Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4k·9＝144－36k.
(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以144－36k＞0，解得k＜4且k≠0.
即当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
(2)因为方程有两个相等的实数根，所以144－36k＝0，解得k＝4.
即当k＝4时，方程有两个相等的实数根．
(3)因为方程没有实数根，所以144－36k＜0，解得k＞4.即当k＞4时，方程没有实数根．
在根据一元二次方程根的情况来求字母系数的取值范围时，要注意以下几点：一是必须是一元二次方程，当二次项系数含有字母时一定要确保二次项系数不为0；二是必须符合一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；三是当方程有实数根时，Δ≥0.
4．利用根与系数的关系确定一元二次方程
如果实数x1，x2满足x1＋x2＝－，x1·x2＝，那么x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．
(2)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
例如，已知一个关于x的一元二次方程，它的两根为3和4，请你写出这个一元二次方程．
由方程的两个根为3和4可知，此方程的两根之和为7，两根之积为12，故根据一元二次方程根与系数的关系可以写出这个一元二次方程．
解：设此方程的两个根为x1，x2，则根据题意得x1＋x2＝7，x1x2＝12.所以所求的一元二次方程为x2－7x＋12＝0.
已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，求出所要求的方程．
【例4】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
分析：一般求作新的一元二次方程时，设所求方程为y2＋py＋q＝0的简单形式，其中p＝－(y1＋y2)，q＝y1·y2.设法求出p和q的值代入y2＋py＋q＝0即得所求方程，当p，q两数为分数时，方程最后要化为各项系数均为整数的方程．
解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，根据韦达定理，得x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
设所求方程为y2＋py＋q＝0，它的两根为y1，y2，
则y1＝－，y2＝－.
p＝－(y1＋y2)＝－(－－)＝＋
＝＝＝.
q＝y1·y2＝(－)(－)＝＝－.
∴所求的方程为y2＋y－＝0，
即3y2＋2y－5＝0.
所求方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．例如：如果原方程中未知数是x，那么所求的新方程中未知数就不要用x了，而改用其他字母y或z等．
5．一元二次方程根与系数的关系的应用
已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则求含有x1，x2的代数式的值时，其方法是把含x1，x2的代数式通过转化，变为用x1＋x2，x1x2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．
解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：
①＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；②＋＝；③(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；④|x1－x2|＝＝.
【例5】已知方程2x2＋5x－6＝0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值．
(1)(x1－2)(x2－2)；(2)＋.
解：由一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－3，
所以，(1)(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2x1－2x2＋4
＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－3－2×(－)＋4＝6；
(2)＋＝＝
＝＝－.
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