【基础演练】
1. (2012·大连)如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9 m的D处．若测角仪CD的高度为1.5 m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为________m(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
解析 如图作CE⊥AB，垂足为E.
∵＝tan 36°，
CE＝BD，
∴AE＝BD·tan 36°
≈9×0.73
＝6.57，
∴AB＝6.57＋1.5＝8.07≈8.1.
答案 8.1
2．(2012·安顺)在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距________m.
解析 由已知得：
∠ABC＝90°＋30°＝120°，
∠BAC＝90°－60°＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC
＝180°－120°－30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200.
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答案 200
3. (2012·深圳)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 ( )
A．(6＋)米 B．12米
C．(4＋2)米 D．10米
解析 如图，延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE＝30°，
作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4 m，
∴CE＝2，EF＝4cos 30°＝2 m，
在Rt△CED中，CE＝2 m，
∵同一时刻，一根长为1米，垂直地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴DE＝4 m，
∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2(m)，
在Rt△ABD中，AB＝BD＝(12＋2)＝6＋(m)．
答案 A
4．(2012·益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.
(1)求B、C两点的距离；
(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)
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解 (1) 在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，
∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．
(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)
∴此车没有超过限制速度．
5．(2012·东营)如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin 36.9°≈，tan 36.9°≈，sin 67.5°≈，tan 67.5°≈)
解 根据题意得：PC⊥AB，
设PC＝x海里．
在Rt△APC中，∵tan ∠A＝，
∴AC＝＝，
在Rt△PCB中，
∵tan ∠B＝，
∴BC＝＝
∵AC＋BC＝AB＝21×5，
∴＋＝21×5，
解得x＝60，
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∵sin ∠B＝，
∴PB＝＝≈60×＝100(海里)
答 向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．
6．(2012·德阳)某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝ ( )
A. B．2
C. D.
解析 ∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA＝20
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90° BP＝60×＝40
∴tan∠ABP＝＝＝.
答案 A
7．(2012·丽水)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
解 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝6，BC＝ABcos ∠ABC＝12×＝6，
∵斜坡BD的坡比是1∶3，
∴CD＝BC＝2，
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∴AD＝AC－CD＝6－2.
答 开挖后小山坡下降的高度AD为(6－2)米．
8. (2012·扬州)如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)
解 作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°，
设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，
在Rt△ABD中，可得BD＝x，
又∵BC＝20，即x＋x＝20，
解得：x＝10(－1)
∴AC＝x≈10.3(海里)．
答 A、C之间的距离为10.3海里．
9. (2012·桂林)某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150 m，且B在A的正东方向。为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100 m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200 m的商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？
解 过点P作PD⊥BC，垂足为D.在Rt△APD中，∠APD＝60°，
∴tan 60°＝＝，
∴AD＝PD，
在Rt△BPD中，∠BPD＝30°
∴tan 30°＝＝，
∴3BD＝PD，
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∴AD＝3BD，
∴AB＝2BD，
∴2BD＝150 m，
∴BD＝75 m，
∴PD＝75m，
∵75＞100，
∴不违反有关规定．
答 不违反有关规定．
【能力提升】
10．(2012·内江)水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．
(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．
解 分别作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，
如图所示
在Rt△ABF中，AB＝16米，∠B＝60°，
sin ∠B＝，
∴AF＝16×＝8，
DG＝8，
∴S△DCE＝×CE×DG＝×8×8＝32，
需要填土：150×32＝4 800(立方米)
(2)在Rt△DCG中，DC＝16
∴GC＝＝24
∴GE＝GC＋CE＝32
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∴坡度i＝＝＝.
答 (1)需填土4 800(立方米)；(2)DE的坡度为.
11.(2012·六盘水)如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
解 如图，过点C作CE⊥AD于点E，
由题意得，AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
故可得∠ACB＝∠CAB＝30°，
即可得AB＝BC＝30 m，
在Rt△BCE中
CE＝BCsin 60°
＝30×＝15
即CE＝15 m.
答 小丽自家门前的小河的宽度为15 m．
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